a)  Mekkora ideig tartott a gyaloglás első illetve második szakasza?

${\Delta t}_1=1\ \mathrm{h}$

${\Delta t}_2=3\ \mathrm{h}$

Mivel a $12\ \mathrm{{km}}$ hosszú út első felében haladt gyorsabban, és a második felében lassabban, ezért az elő és a második szakasz is $6\ \mathrm{{km}}$ hosszú. Számítsuk ki az egyes szakaszokra az eltelt időket a sebesség definíciójából:

\[v=\frac{s}{\Delta t}\]

Ezt kirendezzük a \(\Delta t\) eltelt időre:

\[\Delta t=\frac{s}{v}\]

Az út első felének adatait behelyettesítve:

\[\Delta t_1=\frac{s_1}{v_1}\]

\[\Delta t_1=\frac{6\ \mathrm{km}}{6\ \mathrm{\displaystyle \frac{km}{h}}}\]

\[\Delta t_1=1\ \mathrm{h}\]

Az út második felének adatait behelyettesítve:

\[\Delta t_2=\frac{s_2}{v_2}\]

\[\Delta t_2=\frac{6\ \mathrm{km}}{2\ \mathrm{\displaystyle \frac{km}{h}}}\]

\[\Delta t_2=3\ \mathrm{h}\]

b)  Mennyi a teljes útra vett átlagos sebessége? Ábrázoljuk a mozgását \(s\thinspace \unicode{x2013}\thinspace t\) és \(v\thinspace \unicode{x2013}\thinspace t\) diagramon!

$3\ \mathrm{\displaystyle {{km}\over {h}}}$

Az 1. kérdésben kapott eredmények alapján az összes eltelt idő:

$${\Delta t}_{\mathrm{össz}}={\Delta t}_1+{\Delta t}_2=4\ \mathrm{h}$$

A teljes mozgásra vett átlagsebesség:

$$v_{\mathrm{átl}}={{s_{\mathrm{össz}}}\over {{\Delta t}_{\mathrm{össz}}}}$$

$$v_{\mathrm{átl}}=\mathrm{{{12\ km}\over {4\ h}}}$$

$$v_{\mathrm{átl}}=3\ \mathrm{{{km}\over {h}}}$$

Nézzük a mozgás sebesség-idő diagramját!

Ezen a függvény alatti terület a megtett utat mutatja:

Az átlagos sebességet mutató piros vízszintes egyenes alatti területnek azonosnak kell lennie a tényleges mozgás területével (satírozott kék téglalapok). És ez igaz is, hiszen a piros vonal felett található színes téglalap területek pont beleillenek a piros alatt hiányzó helyekre:

Felmerülhet bennünk, hogy mi lett volna, ha "nem bonyolítjuk ennyire", hanem az első és a második szakasz sebességeit egyszerűen csak „átlagoljuk''. Annak eredménye:

$$v_{\mathrm{átl}}={{6\ \mathrm{\displaystyle {{km}\over {h}}}+2\ \mathrm{\displaystyle {{km}\over {h}}}}\over {2}}$$

$$v_{\mathrm{átl}}={{8\ \mathrm{\displaystyle {{km}\over {h}}}}\over {2}}$$

$$v_{\mathrm{átl}}=4\ \mathrm{{{km}\over {h}}}$$

lett volna, amiről most már tudjuk, hogy nem is helyes eredmény. Miért nem? Mert bár a megtett út szempontjából "azonos súlyú" a mozgás első és második szakasza (hiszen mindkét szakasz $6\ \mathrm{km}$ hosszú), de az eltelt idő szempontjából nem, ugyanis az első szakasz csak $1$ órán át tartott, a második viszont $3$ órán át. Márpedig a sebesség az "egységnyi időre jutó út" definíció miatt az időtől függ. Ezért a második szakasz, amely 3‑szor hosszabb ideig tartott, annak $v_2$ sebessége 3‑szor nagyobb súllyal számít bele az átlagos sebességbe, mint a $v_1$ sebesség. Ha ilyen módon számítunk átlagot, azaz súlyozott átlagot képezünk, akkor kijön a helyes eredmény:

$$v_{\mathrm{átl}}={{v_1\cdot 1+v_2\cdot 3}\over {1+3}}$$

$$v_{\mathrm{átl}}={{6\ \mathrm{\displaystyle {{km}\over {h}}}\ \cdot 1+2\ \mathrm{\displaystyle {{km}\over {h}}}\ \cdot 3}\over {4}}$$

$$v_{\mathrm{átl}}={{12\ \mathrm{\displaystyle {{km}\over {h}}}\ }\over {4}}$$

$$v_{\mathrm{átl}}=3\ \mathrm{\displaystyle {{km}\over {h}}}$$