A Barátság I. kőolajvezeték hálózatnak a 2010‑es években felújított, Százhalombatta és Ipolyság (szlovákul Sahy) között húzódó \(117,3\ \mathrm{km}\)‑es szakasza \(450\ \mathrm{mm}\) belső átmérőjű. Évente \(6\) millió \(\mathrm{tonna}\) kőolaj szállítására képes, az üzemeltetési tervekben szereplő évi 8200 órás működés mellett. Magyarországon a csővezetékekben legnagyobbrészt az orosz Ural olajtípust szállítják, melynek átlagos tömegsűrűsége $864\ \mathrm{\displaystyle {{kg}\over {m^3}}}$.
a) Mekkora átlagos sebességgel áramlik a csővezetékben a kőolaj?
$1,48\ \mathrm{\displaystyle {{m}\over {s}}}$
Jelöljük a keresett átlagos áramlási sebességet $v$‑vel (aminek mértékegysége $\mathrm{\displaystyle {{m}\over {s}}}$). Milyen összefüggés írható fel a $v$ áramlási sebesség és a $\Delta t$ idő alatt az átáramlott $V$ térfogat között? A $V$ térfogat:
$$V=A\cdot l=A\cdot v\cdot \Delta t$$
ahol $l$ a kőolaj által megtett út $\Delta t$ idő alatt, az $A$ pedig a csővezeték keresztmetszete (m2 egységben).
Az egész éves $8200$ órányi működés során átáramlott $V$ térfogat:
$$V_{\textit{éves}}=A\cdot v\cdot \Delta t$$
$$V_{\textit{éves}}=A\cdot v\cdot 8200\ \mathrm{h}$$
$$V_{\textit{éves}}=A\cdot v\cdot 8200\ \mathrm{h}\cdot 3600\ \mathrm{{{sec}\over {h}}}$$
$$V_{\textit{éves}}=A\cdot v\cdot 29\ 520\ 000\ \mathrm{s}$$
Számítsuk ki a keresztmetszetet a cső ismert $d$ átmérőjéből:
$$A=r^2π$$
$$A={\left({{d}\over {2}}\right)}^2π$$
$$A={\left({{0,45\ \mathrm{m}}\over {2}}\right)}^2π$$
$$A={\left(0,225\ \mathrm{m}\right)}^2π$$
$$A=0,159\ \mathrm{m^2}$$
Írjuk be ezt az éves átszállított térfogat egyenletébe:
$$V_{\textit{éves}}=A\cdot v\cdot 29\ 520\ 000\ \mathrm{s}$$
$$V_{\textit{éves}}=0,159\ \mathrm{m^2}\cdot v\cdot 29\ 520\ 000\ \mathrm{s}$$
$$V_{\textit{éves}}=4\ 694\ 953\ \mathrm{m^2s}\cdot v$$
Ugyanakkor tudjuk, hogy az éves átszállított mennyiség $6$ millió $\mathrm{tonna}$. Számítsuk át ezt térfogatba:
$$\varrho ={{m}\over {V}}$$
$$V_{\textit{éves}}={{m_{\textit{éves}}}\over {\varrho }}$$
$$V_{\textit{éves}}={{6\cdot {10}^6\ \mathrm{tonna}}\over {864\ \mathrm{\displaystyle {{kg}\over {m^3}}}}}$$
$$V_{\textit{éves}}={{6\cdot {10}^6\cdot {10}^3\ \mathrm{kg}}\over {864\ \mathrm{\displaystyle {{kg}\over {m^3}}}}}$$
$$V_{\textit{éves}}=6\ 944\ 444,4\ \mathrm{m^3}$$
A két éves térfogat azonos:
$$4\ 694\ 953\ \mathrm{m^2s}\cdot v=6\ 944\ 444,4\ \mathrm{m^3}$$
$$v=1,48\ \mathrm{{{m}\over {s}}}$$
ami kb. \(\displaystyle 5,3\ \mathrm{\frac{km}{h}}\) sebességet, vagyis egy tempósabb gyaloglást jelent.