a)  Modellünkben a kávé helyett vízzel számoljunk! Ha $14\ \mathrm{uncia}\ 20\ \mathrm{{}^\circ C}$‑os vízbe $10\ \mathrm{uncia}\ -18\ \mathrm{{}^\circ C}$‑os jeget rakunk, akkor a termikus egyensúly beálltakor mennyi jég lesz még (illetve mennyi jég olvad bele a "kávéba", hígítva azt)? A környezettel való hőcserét hanyagoljuk el, mert hogy nem tudunk róla semmi konkrétat, bár nyilván egy forró nyári napon jelentős hőcsere zajlik a hűvös ital és a környezeti forró levegő között!

A kezdeti jég $76,26\%$‑a megmarad (nem olvad fel).

Ha a környezettel való hőcsere elhanyagolható (és hőt felszabadító belső folyamat sem zajlott, mint például kémiai vagy magreakció), akkor a jégből és vízből álló vizsgált rendszerünkben az összes hőátadás nulla kell legyen. 

$$\Sigma Q=0$$

$$Q_{\mathrm{jég}}+Q_{\mathrm{víz}}=0$$

$$Q_{\mathrm{jég\ melegszik}}+Q_{\mathrm{jég\ olvad}}+Q_{\mathrm{víz\ lehűl}}=0$$

$$c_{\mathrm{jég}}\cdot m_{\mathrm{jég}}\cdot \Delta T_{\mathrm{jég}}+L_{\mathrm{olv.}}\cdot m_{\mathrm{jég}}+c_{\mathrm{víz}}\cdot m_{\mathrm{víz}}\cdot \Delta T_{\mathrm{víz}}=0$$

Az egyenletben a fajhők és az olvadáshő fix értékek, ahogy a jég és a víz hőmérséklet‑változása is (ha tudjuk, hogy végül $0 \mathrm{{}^\circ C}$‑os víz‑jég keverék lesz). Az egyenlet mindhárom tagjában szerepel egy tömeg, melyből a jég és víz tömege adott, a megolvadt jég tömege pedig az ismeretlen. Ha a feladatban szereplő kiinduló mennyiségek, azaz

$$m_{\mathrm{jég}}=10\ \mathrm{uncia}$$

$$m_{\mathrm{víz}}=14\ \mathrm{uncia}$$

helyett mindkettőből k‑szor több lenne (k egy tetszőleges konstans szám), attól az egyenlet megoldása során a megolvadt jég tömegére kapott érték nem változna. Hiszen ha a 3 tagból az első és a harmadik a k‑szorosára változik, és az összegük nulla, akkor a második tagnak is ugyanúgy k‑szorosra kell változnia. Ezért teljesen mindegy, hogy $10\ \mathrm{uncia}$ és $14\ \mathrm{uncia}$ a kezdeti tömegek, vagy $10\ \mathrm{kg}$ és $14\ \mathrm{kg}$ vagy akár $5\ \mathrm{tonna}$ és $7\ \mathrm{tonna}$. Ezért nyugodtan számolhatunk a legegyszerűbb esettel:

$$m_{\mathrm{jég}}=10\ \mathrm{kg}$$

$$m_{\mathrm{víz}}=14\ \mathrm{kg}$$

$${\Delta {T}}_{\mathrm{jég}}={{T}}_{\mathrm{jég}}\mathrm{(végső)}-{{T}}_{\mathrm{jég}}\mathrm{(kezdeti)}$$

$${\Delta {T}}_{\mathrm{jég}}=0\ \mathrm{{}^\circ C}-\left(-\ 18\ \mathrm{{}^\circ C}\right)$$

$${\Delta {T}}_{\mathrm{jég}}=18\ \mathrm{{}^\circ C}$$

$${\Delta {T}}_{víz}={{T}}_{\mathrm{víz}}\mathrm{(végső)}-{{T}}_{\mathrm{víz}}\mathrm{(kezdeti)}$$

$${\Delta {T}}_{\mathrm{víz}}=0\ \mathrm{{}^\circ C}-20\ \mathrm{{}^\circ C}$$

$${\Delta {T}}_{\mathrm{víz}}=-20\ \mathrm{{}^\circ C}$$

$$c_{\mathrm{jég}}=2090\ \mathrm{{{J}\over {kg\cdot {}^\circ C}}}$$

$$c_{\mathrm{víz}}=4180\ \mathrm{{{J}\over {kg\cdot {}^\circ C}}}$$

$$L_{\mathrm{olvadás}}=334,5\ \mathrm{{{kJ}\over {kg}}}\ =334\ 500\ \mathrm{{{J}\over {kg}}}$$

Ezeket az adatokat beírva a fenti egyenletünkbe:

$$c_{\mathrm{jég}}\cdot m_{\mathrm{jég}}\cdot {\Delta {T}}_{\mathrm{jég}}+L_{\mathrm{olvadás}}\cdot m_{\mathrm{megolvadt\ jég}}+c_{\mathrm{víz}}\cdot m_{\mathrm{víz}}\cdot {\Delta {T}}_{\mathrm{víz}}=0$$

$$2090\ \mathrm{{{J}\over {kg\cdot {}^\circ C}}}\cdot 10\ \mathrm{kg}\cdot 18\ \mathrm{{}^\circ C}+334\ 500\ \mathrm{{{J}\over {kg}}}\cdot m_{\mathrm{mego.\ j.}}+4180\ \mathrm{{{J}\over {kg\cdot {}^\circ C}}}\cdot 14\ \mathrm{kg}\cdot \left(-20\ \mathrm{{}^\circ C}\right)=0$$

$$376\ 200\ \mathrm{J}+334\ 500\ \mathrm{{{J}\over {kg}}}\cdot m_{\mathrm{mego. j.}}-1\ 170\ 400\ \mathrm{J}=0$$

$$334\ 500\ \mathrm{{{J}\over {kg}}}\cdot m_{\mathrm{mego.\ j.}}=794\ 200\ \mathrm{J}$$

$$m_{\mathrm{mego.\ j.}}=2,374\ \mathrm{kg}$$

Tehát a kezdeti $10\ \mathrm{kg}$ jégnek kb. $24\%$‑a a víz lehűtésétől felolvad, a maradék $76,26\%$‑a megmarad (és csak a környezettől felvett hő hatására olvadhatna meg).

b)  Hány $\mathrm{uncia}\ -18\ \mathrm{{}^\circ C}$‑os jeget kellene raknunk az előző $(14\ \mathrm{uncia}\ 20\ \mathrm{{}^\circ C}$‑os) vízbe, hogy a környezettel való hőcsere nélkül pont az összes jég megolvadjon, és végül csupa \(0\ \mathrm{{}^\circ C}\)‑os vizet kapjunk?

$3,145\ \mathrm{oz}$

A fenti levezetés egyenletét most is felhasználhatjuk, mivel a folyamatok teljesen azonosak, csak most a jég tömege az ismeretlen:

$$c_{\mathrm{jég}}\cdot m_{\mathrm{jég}}\cdot {\Delta {T}}_{\mathrm{jég}}+L_{\mathrm{olv.}}\cdot m_{\mathrm{jég}}+c_{\mathrm{víz}}\cdot m_{\mathrm{víz}}\cdot \Delta T_{\mathrm{víz}}=0$$

Megint számolhatunk unciák helyett $\mathrm{kg}$‑okkal, és a végén majd ennek megfelelően adjuk meg a helyes választ.

$$2090\ \mathrm{{{J}\over {kg\cdot {}^\circ C}}}\cdot m_{\mathrm{jég}}\cdot 18\ \mathrm{{}^\circ C}+334\ 500\ \mathrm{{{J}\over {kg}}}\cdot m_{\mathrm{jég}}+4180\ \mathrm{{{J}\over {kg\cdot {}^\circ C}}}\cdot 14\ \mathrm{kg}\cdot \left(-20\ \mathrm{{}^\circ C}\right)=0$$

$$2090\ \mathrm{{{J}\over {kg\cdot {}^\circ C}}}\cdot m_{\mathrm{jég}}\cdot 18\ \mathrm{{}^\circ C}+334\ 500\ \mathrm{{{J}\over {kg}}}\cdot m_{\mathrm{jég}}+4180\ \mathrm{{{J}\over {kg\cdot {}^\circ C}}}\cdot 14\ \mathrm{kg}\cdot \left(-20\ \mathrm{{}^\circ C}\right)=0$$

$$37\ 620\ \mathrm{{{J}\over {kg}}}\cdot m_{\mathrm{jég}}+334\ 500\ \mathrm{{{J}\over {kg}}}\cdot m_{\mathrm{jég}}-1\ 170\ 400\ \mathrm{J}=0$$

$$372\ 120\ \mathrm{{{J}\over {kg}}}\cdot m_{\mathrm{jég}}=1\ 170\ 400\ \mathrm{J}$$

$$m_{\mathrm{jég}}=3,145\ \mathrm{kg}$$

Ha $14\ \mathrm{kg}$ helyett 14 unciával számoltunk volna, akkor ugyanennyi jött volna ki, csak unciában. Így a végeredmény:

$$m_{\mathrm{jég}}=3,145\ \mathrm{oz}$$

c)  Hány \(\mathrm{uncia}\ -18\ \mathrm{{}^\circ C}\)‑os jeget kellene raknunk az előző \((14\ \mathrm{uncia}\ 20\ \mathrm{{}^\circ C}\)-os) vízbe, hogy a környezettel való hőcsere nélkül pont az összes víz megfagyjon, és végül csupa \(0\ \mathrm{{}^\circ C}\)‑os jeget kapjunk?

$155,6\ \mathrm{uncia}$

A hőmennyiségeket tartalmazó egyenletünk hasonló az eddigihez, de most a fagyáshő nem a megolvadó jégnél jelentkezik (mint hőfelvétel), hanem a megfagyó víznél (mint hőleadás), emiatt az előjele most ellentétes lesz az eddigihez képest (vagyis pozitív helyett most negatív lesz).

\[\Sigma Q=0\]

\[Q_{\mathrm{jég\ felmelegszik}}+Q_{\mathrm{víz\ lehűl}}+Q_{\mathrm{víz\ megfagy}}=0\]

\[c_{\mathrm{jég}}\cdot m_{\mathrm{jég}}\cdot \Delta T_{\mathrm{jég}}+c_{\mathrm{víz}}\cdot m_{\mathrm{víz}}\cdot \Delta T_{\mathrm{víz}}+L_{\mathrm{olv.}}\cdot m_{\mathrm{víz}}=0\]

Megint számolhatunk unciák helyett $\mathrm{kg}$‑okkal, és a végén ennek figyelembe vételével adjuk meg majd a helyes választ:

\[2090\ \mathrm{\frac{J}{kg}}\cdot m_{\mathrm{jég}}\cdot 18\ \mathrm{{}^\circ C}+4180\ \mathrm{\frac{J}{kg\cdot {}^\circ C}}\cdot 14\ \mathrm{kg}\cdot \left(-20\ \mathrm{{}^\circ C}\right)-334\ 500\ \mathrm{\frac{J}{kg}}\cdot 14\ \mathrm{kg}=0\]

\[37\ 620\ m_{\mathrm{jég}}-1\ 170\ 400-4\ 683\ 000=0\]

\[37\ 620\ m_{\mathrm{jég}}=5\ 853\ 400\]

\[m_{\mathrm{jég}}=155,6\ \mathrm{kg}\]

De mivel az eredeti eladatban nem $14\ \mathrm{kg}$ volt a víz, hanem $14\ \mathrm{uncia}$, ezért a jégből is a kapott számértékű $\mathrm{uncia}$ kell:

\[m_{\mathrm{jég}}=155,6\ \mathrm{oz}\]

Tehát ahhoz, hogy a \(-18\ \mathrm{{}^\circ C}\)‑os jég megfagyassza a \(20\ \mathrm{{}^\circ C}\)‑os vizet, ehhez a víznél több mint 10‑szeres mennyiségű jégre van szükség.