Egy mesterséges szonda \(120\ 000\ \mathrm{km}\) sugarú körpályára állt egy ismeretlen bolygó körül. Keringési ideje \(8\ \mathrm{nap}\). (A megadott pályasugár a bolygó középpontjától mért értéket jelenti.)
\(\left(\gamma=6,67\cdot 10^{-11}\ \mathrm{\displaystyle\frac{N\cdot m^2}{kg^2}}\right)\)
Mekkora az ismeretlen bolygó tömege?
\(M=2,14\cdot 10^{24}\ \mathrm{kg}\)
Adatok:
\(R=120\ 000\ \mathrm{km}\)
\(T=8\ \mathrm{nap}\)
\(\gamma=6,67\cdot \mathrm{\displaystyle\frac{N\cdot m^2}{kg^2}}\)
A bolygó körüli körmozgás dinamikai feltételének megfogalmazása:
4 pont
(bontható)
Az űrszondára ható gravitációs erő egyenlő a centripetális erővel (2 pont):
\[\gamma \frac{m\cdot M}{R^2}=m \frac{v^2}{R}\]
(az egyenlőség két oldalának felírása 1 + 1 pont)
A keresett bolygótömeg meghatározása:
6 pont
(bontható)
Mivel
\[v=\frac{2\cdot \pi \cdot R}{T}\]
(1 pont)
ezért:
\[\gamma\frac{M}{R^2}=\frac{4\cdot \pi^2 \cdot R}{T^2}\]
\[M=\frac{4\cdot \pi^2 \cdot R^3}{T^2\cdot \gamma}\]
\[M=2,14\cdot 10^{24}\ \mathrm{kg}\]
(behelyettesítés + rendezés + számítás, 1 + 2 + 2 pont)
Összesen: 10 pont