Egy fémkockát teljes egészében vízbe merítve \(2,8\ \mathrm{N}\) erővel kell tartanunk. Ha ugyanezt a kockát olajba merítjük, a tartóerő \(3\ \mathrm{N}\).
a) Mennyi a kocka anyagának a sűrűsége, ha a víz sűrűsége \(1\ \mathrm{\displaystyle \frac{kg}{\ dm^3}}\), az olajé pedig \(0,9\ \mathrm{\displaystyle \frac{g}{\ cm^3}}\)?
\(\varrho = 2400\ \mathrm{\displaystyle \frac{kg}{\ m^3}}\)
Adatok:
\(\ F_v = 2,8\ \mathrm{N}\)
\(F_o = 3\ \mathrm{N}\)
\(F_i = 3,4\ \mathrm{N}\)
\(\displaystyle \varrho_v = 1\ \mathrm{\frac{kg}{\ dm^3}}\)
\(\displaystyle \varrho_o = 0,9\ \mathrm{\frac{g}{\ cm^3}}\)
\(\displaystyle g = 10\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}\)
a) A folyadékok sűrűsége SI-ben:
\[\varrho_{v\small \textit{í}z} = 1\ \mathrm{\displaystyle \frac{kg}{\ dm^3}} = 1000\ \mathrm{\displaystyle \frac{kg}{\ m^3}}\]
míg
\[\varrho_{olaj} = 0,9\ \mathrm{\displaystyle \frac{g}{\ cm^3}} = 900\ \mathrm{\displaystyle \frac{kg}{\ m^3}}\]
1 pont
Ha a kocka vízbe merül, akkor a rá ható erők, azaz a lefelé ható gravitációs erő \((m\cdot g)\), a felfelé ható felhajtóerő \((F_{fel})\) és a tartóerő \((F_v)\) összege nulla:
\[F_v + F_{fel} = m\cdot g\]
1 pont
Felhasználva a felhajtóerőre az \(F = \varrho_{folyad\small \textit{é}\normalsize k}\cdot V\cdot g\) összefüggéseket:
\[F_v + \varrho_{v\small \textit{í}\normalsize z}\cdot V\cdot g = m\cdot g\]
egyenlethez jutunk. Ugyanez az olajba merülő test esetén:
\[F_o + \varrho_{olaj}\cdot V\cdot g = m\cdot g\]
1 pont
Behelyettesítve:
\[2,8\ \mathrm{N} + 1000\ \mathrm{\frac{kg}{\ m^3}}\cdot V\cdot 10\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}} = m\cdot 10\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}\]
\[3\ \mathrm{N} + 900\ \mathrm{\frac{kg}{\ m^3}}\cdot V\cdot 10\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}} = m\cdot 10\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}\]
Ha a jobb oldalak azonosak, akkor a bal oldalak is egyenlők:
2 pont
\[2,8\ \mathrm{N} + 10\ 000\ \mathrm{\frac{kgm}{\ s^2}}\cdot V = 3\ \mathrm{N} + 9000\ \mathrm{\frac{kgm}{\ s^2}}\cdot V\]
innen
\[V = 2\cdot 10^{−4}\ \mathrm{\ m^3}\]
Visszahelyettesítve:
\[m = \displaystyle \mathrm{\frac{(3 + 9000\cdot 2\cdot 10^{-4})}{10}}\ \mathrm{kg,\ azaz}\ m = 0,48\ \mathrm{kg}\]
így a kocka sűrűsége:
\[\varrho = \frac{m}{v} = \frac{0,48\ \mathrm{kg}}{\ 2\cdot 10^{−4}\ \mathrm{m^3}} = 2\ 400\ \mathrm{\frac{kg}{\ m^3}}\]
1 pont
Összesen: 6 pont
b) Mekkora erővel tudnánk a kockát a levegőben megtartani? (A levegőben a felhajtóerőtől tekintsünk el!)
\(F_l = m\cdot g = 4,8\ \mathrm{N}\)
b) Ha a kockát a levegőben tartjuk (mivel a levegőben a felhajtóerő elhanyagolható):
\[F_l = m\cdot g = 4,8\ \mathrm{N}\]
1 + 1 = 2 pont
c) Mekkora annak a folyadéknak a sűrűsége, amelybe a kockát merítve \(3,4\ \mathrm{N}\) erővel kellene azt tartani?
\(\varrho_i = 700\ \mathrm{\displaystyle \frac{kg}{\ m^3}}\)
c) A kockát az ismeretlen sűrűségű folyadékba mártva az alábbi egyenletet írhatjuk fel:
\[F_i + \varrho_i\cdot V\cdot g = m\cdot g\]
2 pont
Innen az ismeretlen folyadék sűrűsége:
\[\varrho_i = \frac{m\cdot g - F_i}{V\cdot g}\]
\[\varrho_i = \frac{4,8\ \mathrm{N} − 3,4\ \mathrm{N}}{\ 2\cdot 10^{-4}\cdot 10\ \mathrm{\displaystyle \frac{\ m^4}{\ s^2}}}\]
\[\varrho_i = 700\ \mathrm{\frac{kg}{\ m^3}}\]
2 pont
Összesen: 4 pont