Egy radioaktív anyag mennyisége \(5\ \mathrm{nap}\) alatt \(40\%\)-kal csökkent.
a) Mennyi a felezési ideje?
\[T = 6,78\ \mathrm{nap}\]
Adatok:
\(t = 5\ \mathrm{nap}\)
\(\Delta N = - 40\%\)
\(n = 1\ \mathrm{mol}\)
\(t_2 = 10\ \mathrm{nap}\)
a) A felezési idő meghatározása:
A radioaktív bomlástörvény értelmében a radioaktív atomok száma az alábbi függvény szerint csökken:
\[N(t) = N_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}\]
1 pont
ahol \(T\) a felezési idő. Esetünkben \(N(t) = 0,6\cdot N_0\) mert ha \(40\%\)‑kal csökken, \(60\%\) marad), így:
\[0,6\cdot N_0 = N_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}\]
1 pont
\(N_0\)-lal egyszerűsítve és \(t = 5\ \mathrm{nap}\) értéket beírva:
\[0,6 = 2^{-\frac{5\ \mathrm{nap}}{T}}\]
1 pont
egyenlethez jutunk, amiből (az egyenlet tízes alapú logaritmusát véve):
\[T = -\frac{\lg\ 2}{\lg\ 0,6}\cdot 5\ \mathrm{nap} = 6,78\ \mathrm{nap}\]
2+1 pont
a keresett felezési idő.
Összesen: 6 pont
b) A függvénytáblázatban található összefüggés segítségével határozza meg az anyag \(1\) móljának aktivitását \(10\ \mathrm{nap}\) elteltével!
\[A = 2,56\cdot 10^{17}\ \mathrm{Bq}\]
b) \(\textit{1}\ mol\) anyag aktivitása \(\textit{10}\ nap\) elteltével:
Mivel az aktivitás a függvénytáblázatban megtalálható
\[A = \frac{0,693}{T}\cdot N\]
1 pont
összefüggéssel számolható, először a $10\ \mathrm{nap}$ múlva meglévő részecskeszámot kell meghatároznunk, a bomlástörvény segítségével:
\[N = N_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}\]
\[N = 6\cdot 10^{23}\cdot 2^{−\frac{10}{6,78}}\]
\[N = 2,16\cdot 10^{23}\]
1+1 pont
Ez alapján az aktivitás (a felezési időt másodpercben megadva)
\[A = \frac{0,693}{T}\cdot N\]
\[A = \frac{0,693}{6,78\cdot 3600\cdot 24}\cdot 2,16\cdot 10^{23}\ \mathrm{Bq}\]
\[A = 2,56\cdot 10^{17}\ \mathrm{Bq}\]
1 pont
Összesen: 4 pont
A feladat természetesen megoldható úgy is, hogy először a mólnyi mennyiség aktivitását határozzuk meg, majd a bomlástörvényt az aktivitásra írjuk fel.