Gyorslábú Akhilleusz új kihívást keres. Mivel az eddigi mutatványai során a teknősöket mindig hamar utolérte, ezúttal egy nyulat vesz üldözőbe. Azonban kudarckerülő (vagy pozitívabb tálalásban: sikerorientált) személyisége nem engedi, hogy a győzelme bizonytalan legyen, emiatt egy sérült lábú nyúl nyomába ered. Akhilleusz állandó \(\displaystyle 36\ \mathrm{\frac{km}{h}}\) sebességgel fut, míg a sérült nyúl csak állandó \(\displaystyle 25,2\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑ra képes, de van 300 méter előnye.
a) Mennyi idő múlva és mennyi út megtétele után éri utol Akhilleusz a nyulat?
\(100\ \mathrm{mp}\) múlva, és \(1000\ \mathrm{m}\) megtétele után.
Először is egységesítsük a mértékegységeket az SI rendszer irányába. Akhilleusz és a nyúl sebessége:
\[v_{\mathrm{A}}=36\ \mathrm{\frac{km}{h}}=10\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
\[v_{\mathrm{N}}=25,2\ \mathrm{\frac{km}{h}}=7\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
Mire Akhilleusz utoléri a nyulat, addigra pont ledolgozza a kezdetben meglévő hátrányát, vagyis \(300\ \mathrm{m}\)‑rel többet fog megtenni, mint a nyúl:
\[s_{\mathrm{A}}=s_{\mathrm{N}}+300\ \mathrm{m}\]
Egyenletes mozgásnál a megtett út a sebesséhggel és az idővel is egyenesen arányos, ezért a sebesség és az idő szorzata:
\[s=v\cdot \Delta t\]
Használjuk ezt az összefüggést itt:
\[s_{\mathrm{A}}=s_{\mathrm{N}}+300\ \mathrm{m}\]
\[v_{\mathrm{A}} \cdot \Delta t=v_{\mathrm{N}}\cdot \Delta t+300\ \mathrm{m}\]
\[10\ \mathrm{\frac{m}{s}}\cdot \Delta t=7\ \mathrm{\frac{m}{s}}\cdot \Delta t+300\ \mathrm{m}\]
\[3\ \mathrm{\frac{m}{s}}\cdot \Delta t=300\ \mathrm{m}\]
\[\Delta t=100\ \mathrm{s}\]
Mennyi utat tesz meg Akhilleusz a nyúl utoléréséig:
\[s_{\mathrm{A}}=v_{\mathrm{A}}\cdot \Delta t\]
\[s_{\mathrm{A}}=10\ \mathrm{\frac{m}{s}}\cdot 100\ \mathrm{s}\]
\[s_{\mathrm{A}}=1000\ \mathrm{m}\]
A nyúl pedig ennél \(300\ \mathrm{m}\)‑rel kevesebbet.
b) Ábrázoljuk mindkét hős mozgását közös \(s \thinspace \unicode{x2013} \thinspace t\) (út-idő), \(x \thinspace \unicode{x2013} \thinspace t\) (helykoordináta-idő) valamint \(v \thinspace \unicode{x2013} \thinspace t\) sebesség-idő diagramon!
Az út-idő diagramon kezdetben mindketten nulla megtett úttal rendelkeznek, és Akhilleusz a találkozásig \(300\ \mathrm{m}\)-rel több utat tesz meg, mint a nyúl. Az állandó sebességek miatt a grafikonok egyenesek, és a nagyobb sebességű képe meredekebb, hiszen másodpercenként többet nő a megetett útja:
A helykoordináta-idő diagramon a nyúlnak kezdetben van \(300\ \mathrm{m}\) előnye, de a találkozáskor ugyanannyi a nyúlnak és Akhilleusznak a helykoordinátája:
A sebesség-idő diagramon az állandó sebességek miatt mindkettőjük képe vízszintes egyenes, Akhilleusz egyenese (a nagyobb sebessége miatt) magasabban van, mint a nyúlé
