Egy forró nyári estén Jucikának eszébe jut, hogy jó lenne még elmenni egy utolsót fagyizni, hiszen az élet minden napja egyszeri és megismételhetetlen. Csakhogy \(40\ \mathrm{perc}\) múlva sötétedik, amikorra haza kell érni. Odafelé menet még tudnak igyekezni (így \(\displaystyle 1,2\ \mathrm{\frac{m}{s}}\) sebességre képesek), de visszafelé menet csak $\displaystyle 0,8\ \mathrm{\frac{m}{s}}$-mal tudnak majd haladni, hisz a fagyi nyalására koncentrálva az úthibákra kevésbé tudnak figyelni. A fagyisnál igen gyors a kiszolgálás, így az ott eltöltött kis időt a 40 perchez képest hanyagoljuk el!
a) Milyen messze lévő fagyizóba indulhatnak el, hogy még hazaérjenek sötétedésre?
Legfeljebb \(1152\ \mathrm{m}\)-re lévőbe.
Legyen $s$ a ház és a fagyizó távolsága, ${\Delta t}_1$ az odaút időtartama, ${\Delta t}_2$ a visszaút időtartama pedig ${\Delta t}_2$!
Többféle úton is megoldhatjuk a feladatot.
1. megoldás
Észrevehetjük, hogy az oda- és visszaút időtartama összesen \(40\ \mathrm{perc}\) azaz \(2400\ \mathrm{sec}\). Ezért az oda- és visszaút időtartamai nem függetlenek, hanem fennáll közöttük:
\[{\Delta t}_2=2400\ \mathrm{s}-{\Delta t}_1\]
Így máris az eddigi kettő ismeretlen időtartam helyett csak egy ismeretlen időtartamunk van, a ${\Delta t}_1$.
Az odaútra felírhatjuk:
\[s=v_1\cdot {\Delta t}_1\]
\[s=1,2\ \mathrm{\frac{m}{s}}\cdot {\Delta t}_1\]
A visszaútra felírhatjuk:
\[s=v_2\cdot {\Delta t}_2\]
\[s=0,8\ \mathrm{\frac{m}{s}}\cdot \left({2400\ \mathrm{s}-\Delta t}_1\right)\]
Van egy két egyenletes egyenletrendszerünk. De ez az egyenletrendszer igen egyszerű, hiszen az egyenletek bal oldalai azonosak (az odaút és a visszaút egyenletében is $s$ a bal oldal). Ilyenkor a jobb oldalaknak is azonosnak kell lenniük:
\[1,2\ \mathrm{\frac{m}{s}}\cdot {\Delta t}_1=0,8\ \mathrm{\frac{m}{s}}\cdot \left({2400\ \mathrm{s}-\Delta t}_1\right)\]
\[1,2\cdot {\Delta t}_1=0,8\cdot \left({2400\ \mathrm{s}-\Delta t}_1\right)\]
\[1,2\cdot {\Delta t}_1=1920\ \mathrm{s}-0,8\cdot {\Delta t}_1\]
\[2\cdot {\Delta t}_1=1920\ \mathrm{s}\]
\[{\Delta t}_1=960\ \mathrm{s}\]
Ha tudjuk, hogy \(960\ \mathrm{mp}\)-ig mehet odafelé, akkor az odafelé sebességéből kiszámíthatjuk, hogy milyen messzire jut el:
\[s=1,2\ \mathrm{\frac{m}{s}}\cdot {\Delta t}_1\]
\[s=1,2\ \mathrm{\frac{m}{s}}\cdot 960\ \mathrm{s}\]
\[s=1152\ \mathrm{m}\]
Tehát legfeljebb \(1152\ \mathrm{m}\)-re lévő kocsmába indulhat el, hogy \(40\ \mathrm{perc}\) múlva hazaérjen.
2. megoldás
Úgy is elindulhatunk, hogy ahányszor nagyobb a sebesség odafelé mint visszafelé, annyiszor rövidebb ideig tart az odaút, mint a visszaút. Nézzük a sebességek arányát:
\[\frac{1,2\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}}{0,8\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}}=1,5\]
Ez alapján az odaút időtartama 1,5-ször rövidebb, mint a visszaút időtartama, képlettel:
\[{\Delta t}_1=\frac{{\Delta t}_2}{1,5}\]
Vagy ugyanezt másképp megfogalmazva: a visszaút időtartama 1,5-ször hosszabb, mint az odaút időtartama, képlettel:
\[{\Delta t}_2=1,5\cdot {\Delta t}_1\]
Bármelyik verziót is nézzük (nézzük mondjuk a másodikat, csak mert az amiatt egyszerűbb, mert abban nincs tört...), felírhatjuk, hogy a két időtartam összesen \(2400\ \mathrm{s}\):
\[{\Delta t}_1+{\Delta t}_2=2400\ \mathrm{s}\]
\[{\Delta t}_1+1,5\cdot {\Delta t}_1=2400\ \mathrm{s}\]
\[2,5\cdot {\Delta t}_1=2400\ \mathrm{s}\]
\[{\Delta t}_1=960\ \mathrm{s}\]
Ha tudjuk, hogy \(960\ \mathrm{mp}\)-ig mehet odafelé, akkor az odafelé sebességéből kiszámíthatjuk, hogy milyen messzire jut el:
\[s=1,2\ \mathrm{\frac{m}{s}}\cdot {\Delta t}_1\]
\[s=1,2\ \mathrm{\frac{m}{s}}\cdot 960\ \mathrm{s}\]
\[s=1152\ \mathrm{m}\]
3. megoldás
Sokan úgy próbálják megoldani a feladatot, hogy a teljes, oda-vissza útra nézve azt mondják, hogy Jucika átlagsebessége:
\[v_{\mathrm{átl}}=\frac{1,2\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}+0,8\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}}{2}=1\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
Ekkora átlagsebességgel \(40\ \mathrm{perc}\) alatt mekkora $2s$ utat tud megtenni? Általában:
\[s=v\cdot \Delta t\]
Most konkrétan:
\[2s=1\ \mathrm{\frac{m}{s}}\cdot 2400\ \mathrm{s}\]
\[2s=2400\ \mathrm{m}\]
\[s=1200\ \mathrm{m}\]
Ez nem teljesen egyezik az előbbiek során kapott eredménnyel. Méghozzá azért, mert az átlagsebesség kiszámítása hibás volt, Ugyanis az átlagsebesség csak abban a speciális esetben egyezik meg a sebességek egyszerű átlagával (számtani közepével), ha a különböző sebességekkel azonos ideig halad a test. Ha az egyik sebességgel hosszabb ideig halad, akkor annak a sebességnek nagyobb lesz a súlya az átlagsebességben. Az átlagsebességet úgy lehet korrektül kiszámítani, ha az egyes sebességek súlyozott átlagát vesszük, méghozzá az időtartammal súlyozott átlagát. Ellenőrizzük, hogy így kijön-e az eddigi eredmény! A sebességek idővel súlyozott átlagához először is gondoljuk meg, hogy melyik sebességnek lesz nagyobb súlya! Nyilván amelyikkel hosszabb időn át halad a test. Ugyanazt a távot a kisebb sebességgel fogja nagyobb idő alatt megtenni. Méghozzá annyiszor lesz nagyobb a kisebb sebességnek a súlya az átlagsebességben, ahányszor hosszabb ideig megy vele a test. Ez pedig attól függ, hányszor kisebb a kisebb sebesség a nagyobb sebességnél:
\[\frac{1,2\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}}{0,8\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}}=1,5\]
tehát a nagyobb sebességet 1-szeres súlyfaktorral, a kisebb sebességet pedig 1,5-szörös súlyfaktorral kell számítani az átlagsebességben:
\[v_{\mathrm{átl}}=\frac{1,2\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\cdot 1+0,8\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\cdot 1,5}{1+1,5}\]
\[v_{\mathrm{átl}}=\frac{2,4\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}}{2,5}=0,96\]
Számoljuk újra ezzel az átlagsebességgel az utat:
\[2s=0,96\ \mathrm{\frac{m}{s}}\cdot 2400\ \mathrm{s}\]
\[2s=2304\ \mathrm{m}\]
\[s=1152\ \mathrm{m}\]
b) Mekkora volt a teljes, oda-vissza útra számított átlagos sebesség? Ábrázoljuk a mozgást \(x\thinspace \unicode{x2013}\thinspace t\) és \(v\thinspace \unicode{x2013}\thinspace t\) grafikonokon!
\(v_{\mathrm{átl}}=0,96\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\)
Az átlagos sebesség az összes megtett útnak és az összes eltelt időnek a hányadosa:
\[v_{\mathrm{átl}}=\frac{2s}{{\Delta t}_1+{\Delta t}_2}\]
\[v_{\mathrm{átl}}=\frac{2\cdot 1152\ \mathrm{m}}{960\ \mathrm{s}+1440\ \mathrm{s}}\]
\[v_{\mathrm{átl}}=\frac{2304\ \mathrm{m}}{2400\ \mathrm{s}}\]
\[v_{\mathrm{átl}}=0,96\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
lletve a két grafikont közösen ábrázolva szemléltethetjük, hogy a függvények alatti terület az azonos megtett utak miatt azonos:
Megjegyzés: Átlagsebesség alatt időnként az elmozdulás és az összes eltelt idő hányadosát értik, ettől megkülönböztetésül szokás átlagos sebességről illetve átlagos sebességnagyságról beszélni, mint a megtett út és az eltelt idő hányadosáról. A feladatban a teljes folyamatra az elmozdulás nulla, hiszen emberünk a végére visszajut a kiindulási helyére. Emiatt az átlagsebessége nulla. Gyakran a precíz "átlagos sebességnagyság" kifejezés helyett az egyszerűség kedvéért röviden csak "átlagsebesség"‑et mondunk.
A helykoordináta-idő diagram pedig:
