A híres Ride-A-Day nevű egynapos alpesi kerékpárversenyen először hegynek felfelé kell tekerni \(100\ \mathrm{km}\)-t, majd pedig (követve az "előbb a munka, aztán a szórakozás" dramaturgiáját) lejtőn lefelé még egyszer ugyanennyit. Börni, Midgá és Zeusz a verseny első, emelkedő felét egyaránt \(\displaystyle 20\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑s átlaggal teljesítette. Börni az egész versenyre vett átlagsebességét \(\displaystyle 30\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)-ra szeretné kihozni. Midgá ennél nagyobbat mer álmodni: kerek \(\displaystyle 40\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑s átlagot szeretne produkálni. Zeusz pedig még ambíciózusabb: \(\displaystyle 50\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑s összesített átlaggal kíván a célba érni.
a) Mekkora átlaggal kell Börninek teljesítenie a lefelé tartó, második szakaszt, hogy a teljes távra \(\displaystyle 30\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)-s átlagot produkáljon?
\(\displaystyle 60\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)
Kétféleképpen is megoldhatjuk.
1. megoldás
Számoljuk ki, mennyi ${\Delta t}_{\mathrm{össz}}$ össszidő alatt kell a teljes \(200\ \mathrm{km}\)‑es távot letekernie, hogy kijöjjön a \(\displaystyle 30\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)-s átlag:
\[{\Delta t}_{\mathrm{össz}}=\frac{s_{\mathrm{össz}}}{v_{\mathrm{átl}}}\]
\[{\Delta t}_{\mathrm{össz}}=\frac{200\ \mathrm{km}}{30\ \mathrm{\displaystyle \frac{km}{h}}}\]
\[{\Delta t}_{\mathrm{össz}}=\frac{20}{3}\ \mathrm{h}\approx 6,67 \mathrm{h}\]
Ebből az összidőből az első \(100\ \mathrm{km}\)‑es szakaszon elhasználtunk már valamennyit:
\[{\Delta t}_1=\frac{s_1}{v_1}\]
\[{\Delta t}_1=\frac{100\ \mathrm{km}}{20\ \mathrm{\displaystyle \frac{km}{h}}}\]
\[{\Delta t}_1=5\ \mathrm{h}\]
így a második szakaszra jutó időt most kiszámolhatjuk:
\[{\Delta t}_{\mathrm{össz}}={\Delta t}_1+{\Delta t}_2\]
\[\frac{20}{3}\ \mathrm{h}=5\ \mathrm{h}+{\Delta t}_2\]
\[\frac{20}{3}\ \mathrm{h}=\frac{15}{3}\ \mathrm{h}+{\Delta t}_2\]
\[{\Delta t}_2=\frac{5}{3}\ \mathrm{h}\approx 1,67\ \mathrm{h}\]
Ebből pedig kiszámolhatjuk, hogy a második szakaszon mekkora átlaggal kell menni:
\[v_2=\frac{s_2}{{\Delta t}_2}\]
\[v_2=\frac{100\ \mathrm{km}}{\displaystyle \frac{5}{3}\ \mathrm{h}}\]
\[v_2=60\ \mathrm{\frac{km}{h}}\]
2. megoldás
Támadhat olyan gondolatunk is, hogy a második szakaszon \(\displaystyle 40\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑val kell mennie, mert a \(\displaystyle 20\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑nak és a \(\displaystyle 40\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑nak az átlaga pont kiadná a vágyott \(\displaystyle 30\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑t. De ez nem igaz, mert két sebesség átlaga csak abban a speciális esetben adja ki az átlagsebességet, ha a szakaszok azonos hosszú ideig tartanak. Márpedig itt biztosan nem lesz így, hiszen a szakaszok ugyanolyan hosszúak, viszont a második szakaszban gyorsabban kell mennie, márpedig ha ugyanazt az utat különböző sebességekkel tesszük meg, akkor az különböző ideig fog tartani.
Az átlagsebesség az összes út és az összes eltelt idő hányadosa:
\[v_{\mathrm{átl}}=\frac{s_\mathrm{össz}}{{\Delta t}_\mathrm{össz}}\]
Most, amikor 2 szakaszból áll a folyamat:
\[v_{\mathrm{átl}}=\frac{s_1+s_2}{{\Delta t}_1+{\Delta t}_2}\]
Írjuk be az ismert adatokat Börni esetére:
\[30\ \mathrm{\frac{km}{h}}=\frac{100\ \mathrm{km}+100\ \mathrm{km}}{{\Delta t}_1+{\Delta t}_2}\]
\[30\ \mathrm{\frac{km}{h}}=\frac{200\ \mathrm{km}}{{\Delta t}_1+{\Delta t}_2}\]
Ha tudnánk az első szakasz ${\Delta t}_1$ idejét, akkor már ebből kijönne a lefelé szakasz ${\Delta t}_2$ ideje, amiből tudva, hogy a lefelé szakasz is $100\ \mathrm{km}$, már megkaphatnánk a szükséges lefelé sebességet. A felfelé szakasz idejét ki tudjuk számolni, hiszen tudjuk az utat is és a sebességet is:
\[{\Delta t}_1=\frac{s_1}{v_1}\]
\[{\Delta t}_1=\frac{100\ \mathrm{km}}{20\ \mathrm{\displaystyle \frac{km}{h}}}\]
\[{\Delta t}_1=5\ \mathrm{h}\]
Írjuk be ezt az előző egyenletbe:
\[30\ \mathrm{\frac{km}{h}}=\frac{200\ \mathrm{km}}{{\Delta t}_1+{\Delta t}_2}\]
\[30\ \mathrm{\frac{km}{h}}=\frac{200\ \mathrm{km}}{5\ \mathrm{h}+{\Delta t}_2}\]
\[30\cdot \left(5\ \mathrm{h}+{\Delta t}_2\right)=200\ \mathrm{h}\]
\[150\ \mathrm{h}+30\cdot {\Delta t}_2=200\ \mathrm{h}\]
\[30\cdot {\Delta t}_2=50\ \mathrm{h}\]
\[{\Delta t}_2=\frac{5}{3}\ \mathrm{h}=1\ \mathrm{h}\ 40\ \mathrm{min}\approx 1,66\ \mathrm{h}\]
Mekkora $v_2$ sebesség esetén fogja ennyi idő alatt teljesíteni a második \(100\ \mathrm{km}\)‑t?
\[v_2=\frac{s_2}{{\Delta t}_2}\]
\[v_2=\frac{100\ \mathrm{km}}{\displaystyle \frac{5}{3}\ \mathrm{h}}\]
\[v_2=60\ \mathrm{\frac{km}{h}}\]
Tehát ha az első szakasz \(\displaystyle 20\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑s sebessége után a teljes napra vett átlagát fel akarja húzni \(\displaystyle 30\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑ra, akkor a második szakaszon már 3‑szor nagyobb sebességet kell produkálnia. A látszólag furcsa eredmény hátterében az áll, hogy az átlagsebesség az egyes szakaszok sebességeinek időtartammal súlyozott átlaga. Ezért a rövidebb ideig tartó (második) szakasz sebessége kisebb súllyal számít. Így neki nagyobb mértékben kell eltérnie az átlaghoz képest (felfelé), mint a nála nagyobb súllyal számító (hosszabb ideig tartó) első szakasz sebességének (lefelé).
b) Mekkora átlaggal kell Midgának teljesítenie a lefelé tartó, második szakaszt, hogy a teljes távra \(\displaystyle 40\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑s átlagot produkáljon?
Lefelé már végtelen rövid idő alatt, azaz végtelen nagy sebességgel kellene haladnia, hogy kijöjjön a teljes távra a \(\displaystyle 40\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑s átlaga.
Kétféleképpen oldjuk meg ezt a kérdést is.
1. megoldás
Számoljuk ki, mennyi ${\Delta t}_{\mathrm{össz}}$ össszidő alatt kell a teljes \(200\ \mathrm{km}\)‑es távot letekernie, hogy kijöjjön a \(\displaystyle 40\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑s átlag:
\[{\Delta t}_{\mathrm{össz}}=\frac{s_{\mathrm{össz}}}{v_{\mathrm{átl}}}\]
\[{\Delta t}_{\mathrm{össz}}=\frac{200\ \mathrm{km}}{40\ \mathrm{\displaystyle \frac{km}{h}}}\]
\[{\Delta t}_{\mathrm{össz}}=5\ \mathrm{h}\]
Ebből az összidőből az első \(100\ \mathrm{km}\)‑es szakaszon elhasználtunk már valamennyit:
\[{\Delta t}_1=\frac{s_1}{v_1}\]
\[{\Delta t}_1=\frac{100\ \mathrm{km}}{20\ \mathrm{\displaystyle \frac{km}{h}}}\]
\[{\Delta t}_1=5\ \mathrm{h}\]
Vagyis ahhoz, hogy a \(\displaystyle 40\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑s átlag kijöjjön, ahhoz a teljes távot kell \(5\ \mathrm{h}\) alatt megtennünk. Tehát már az összes időt elhasználtuk az első szakaszon! Vagyis a második szakaszra már nem maradt idő. Emiatt a második szakaszt "végtelen gyorsan" kellene megtenni, hogy kijöjjön a \(\displaystyle 40\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑s átlag.
2. megoldás
Felírjuk a teljes távra vett átlagsebességet, figyelembe véve, hogy a felfelé menő első szakaszról kiszámítottuk, hogy \(5\ \mathrm{h}\) alatt tette meg:
\[40\ \mathrm{\frac{km}{h}}=\frac{200\ \mathrm{km}}{{\Delta t}_1+{\Delta t}_2}\]
\[40\ \mathrm{\frac{km}{h}}=\frac{200\ \mathrm{km}}{5\ \mathrm{h}+{\Delta t}_2}\]
\[40\cdot \left(5\ \mathrm{h}+{\Delta t}_2\right)=200\ \mathrm{h}\]
\[200\ \mathrm{h}+40\cdot {\Delta t}_2=200\ \mathrm{h}\]
\[40\cdot {\Delta t}_2=0\]
\[{\Delta t}_2=0\]
Így is arra jutottunk, hogy a második szakaszra már egyszerűen nem maradt "elkölthető" időnk, ha ki akarjuk hozni a \(\displaystyle 40\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑s átlagot. Azt már végtelen rövid idő alatt, azaz végtelen nagy sebességgel kell megtenni, hogy teljesüljön a terv.
c) Mekkora átlaggal kell Zeusznak teljesítenie a lefelé tartó, második szakaszt, hogy a teljes távra \(\displaystyle 50\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑s átlagot produkáljon?
Ez nem lehetséges, semmilyen nagy sebességgel sem.
Nyilvánvaló, hogy ha már a \(\displaystyle 40\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑s átlagot sem lehet kihozni (illetve csak a hipotetikus, irreális, végtelen nagy sebességgel), akkor az ennél még nagyobb \(\displaystyle 50\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑s átlagot még kevésbé sem lehet. Azért érdekességképp megnézhetjük, hogy mit adnak a levezetések.
1. megoldás
Számoljuk ki, mennyi ${\Delta t}_{\mathrm{össz}}$ össszidő alatt kell a teljes \(200\ \mathrm{km}\)‑es távot letekernie, hogy kijöjjön a \(\displaystyle 50\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑s átlag:
\[{\Delta t}_{\mathrm{össz}}=\frac{s_{\mathrm{össz}}}{v_{\mathrm{átl}}}\]
\[{\Delta t}_{\mathrm{össz}}=\frac{200\ \mathrm{km}}{50\ \mathrm{\displaystyle \frac{km}{h}}}\]
\[{\Delta t}_{\mathrm{össz}}=4\ \mathrm{h}\]
Ebből az összidőből az első \(100\ \mathrm{km}\)‑es szakaszon elhasználtunk már valamennyit:
\[{\Delta t}_1=\frac{s_1}{v_1}\]
\[{\Delta t}_1=\frac{100\ \mathrm{km}}{20\ \mathrm{\displaystyle \frac{km}{h}}}\]
\[{\Delta t}_1=5\ \mathrm{h}\]
Vagyis ahhoz, hogy az \(\displaystyle 50\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑s átlag kijöjjön, ahhoz a teljes távot kell \(4\ \mathrm{h}\) alatt megtennünk. Tehát már az összes időnél is többet elhasználtuk az első szakaszon! Vagyis a második szakaszra már nagyon nem maradt idő, amit arra fordíthatnánk. Emiatt a második szakaszt még ha "végtelen gyorsan" tennénk meg, akkor sem jöhetne ki a \(\displaystyle 40\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑s átlag.
2. megoldás
Felírjuk a teljes távra vett átlagsebességet, figyelembe véve, hogy a felfelé menő első szakaszról kiszámítottuk, hogy \(5\ \mathrm{h}\) alatt tette meg:
\[50\ \mathrm{\frac{km}{h}}=\frac{200\ \mathrm{km}}{{\Delta t}_1+{\Delta t}_2}\]
\[50\ \mathrm{\frac{km}{h}}=\frac{200\ \mathrm{km}}{5\ \mathrm{h}+{\Delta t}_2}\]
\[50\cdot \left(5\ \mathrm{h}+{\Delta t}_2\right)=200\ \mathrm{h}\]
\[250\ \mathrm{h}+50\cdot {\Delta t}_2=200\ \mathrm{h}\]
\[50\cdot {\Delta t}_2=-50\ \mathrm{h}\]
\[{\Delta t}_2=-1\ \mathrm{h}\]
Vagyis a második szakasz végére \(1\ \mathrm{h}\)‑val korábban kellene elérni, mint hogy elkezdtük.