Egy légfúvó által keltett légáram sebességét mértük a következő módon: Egy függőleges helyzetű szívószálat beleteszünk egy pohárba (a benne levő vizet a jobb láthatóság érdekében tintapatronnal megfestettük), majd a szívószál felett elfújunk a légfúvó kivezető csövével. Emiatt a szívószál belsejében magasabban állt a folyadék, mint a pohárban, a szívószálon kívül. A légfúvó különböző fokozataiban a szintkülönbséget \((h)\) megmérve az alábbi táblázatot kaptuk:
| fokozat | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| \(h\ (\mathrm{cm})\) | 0,5 | 0,8 | 1,9 | 4,6 | 7,8 |
| \(v\ \left(\displaystyle \mathrm{\frac{m}{s}}\right)\) |
Ismerjük a víz és a levegő sűrűségét \(\displaystyle (\varrho_{\mathrm{víz}}=1000\ \mathrm{\frac{kg}{\ m^3}}, \varrho_{\mathrm{levegő}} = 1,3\ \mathrm{\frac{kg}{\ m^3}})\), és feltételezzük, hogy ebben a sebességtartományban a levegő nem nyomódik össze, azaz igazak rá a folyadékáramlás törvényei.
a) Melyik törvényen alapul a jelenség?
A jelenség a Bernoulli‑törvényen alapul.
Adatok:
\(\displaystyle \varrho_{\mathrm{víz}}= 1000\ \mathrm{\frac{kg}{\ m^3}}\)
\(\displaystyle \varrho_{\mathrm{levegő}}=1,3\ \mathrm{\frac{kg}{\ m^3}}\)
a) A jelenség a Bernoulli‑törvényen alapul:
\[p_1 + \frac{1}{2}\cdot p_{\mathrm{lev}}\cdot v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2}\cdot p_{\mathrm{lev}}\cdot v_2^2\]
2 pont
b) Határozza meg a légáram sebességét a különböző fokozatokban!
| fokozat | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| \(h\ (\mathrm{cm})\) | 0,5 | 0,8 | 1,9 | 4,6 | 7,8 |
| \(v\ \left(\displaystyle \mathrm{\frac{m}{s}}\right)\) | 8,77 | 11,09 | 17,10 | 26,60 | 34,64 |
b) A légáramlás sebességének meghatározása.
A Bernoulli-egyenlet egyik oldalára a nyugvó levegő nyomását írva, az egyenlet az alábbi alakot ölti:
\[p_0 + \frac{1}{2}\cdot p_{\mathrm{lev}}\cdot 0^2 = p + \frac{1}{2}\cdot p_{\mathrm{lev}}\cdot v_2\]
ahonnan a nyugvó és a mozgó levegő közötti nyomáskülönbség:
\[\Delta p = p_0 - p = \frac{1}{2}\cdot p_{\mathrm{lev}}\cdot v_2\]
1 pont
Ugyanakkor a nyomáskülönbség a csőben mért szintkülönbséggel megegyező magasságú vízoszlop hidrosztatikai nyomásaként is meghatározható:
\[\Delta p = \varrho_{\mathrm{víz}}\cdot g\cdot \Delta h\]
A két egyenlet összevetéséből:
\[\frac{1}{2}\cdot \varrho_{\mathrm{lev}}\cdot v_2 = \varrho_{\mathrm{víz}}\cdot g\cdot \Delta h\]
1 pont
innen a légáram keresett sebessége:
\[v = \sqrt{\frac{2\cdot \varrho_{\mathrm{víz}}\cdot g\cdot \Delta h}{\varrho_{\mathrm{lev}}}}\]
1 pont
A táblázat értékeivel behelyettesítve:
| fokozat | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| \(h\ (\mathrm{cm})\) | 0,5 | 0,8 | 1,9 | 4,6 | 7,8 |
| \(v\ \left(\displaystyle \mathrm{\frac{m}{s}}\right)\) | 8,77 | 11,09 | 17,10 | 26,60 | 34,64 |
(5 jó válasz 3 pont, 3-4 jó válasz 2 pont, 1-2 jó válasz 1 pont)
3 pont
c) Ábrázolja a sebességet a felszívási magasság függvényeként!
c) A kért grafikon felrajzolása
3 pont
d) Milyen matematikai görbével jellemezhető a grafikon?
Négyzetgyökös függvénnyel.
d) Az elmélet (a kapott összefüggés) alapján látható \((v_2\sim h\),azaz \(v\sim \sqrt h)\), hogy a keresett függvény egy négyzetgyökös függvény.
Összesen: 13 pont