Az emberi élet időnként olyan, mint a vízen való hánykolódás, amivel nem is jutunk el sehova, legfeljebb oda, ahonann indultunk. Amikor épp a vízfelszín felett vagyunk, az már jó. Ráadásul folyamatosan összehasonlítgatjuk magunkat másik embeerekkel (ami sok fölösleges szenvedést okoz). Ezért vizsgáljunk meg két azonos típusú hajót, melyek élete nagyon hasonló: mindketten egész nap oda‑vissza ingáznak két állomás között, az állomásaik pedig ugyanúgy \(48\ \mathrm{km}\) távolságban vannak egymástól. A vízhez képest mindketten \(\displaystyle 12\ \mathrm{\frac{km}{h}}\) sebességgel haladnak. A különbség mindössze annyi közöttük, hogy az egyik hajó állóvízen (tavon) jár, míg a másik hajó egy \(\displaystyle 4\ \mathrm{\frac{km}{h}}\) sodrási sebességű folyón.
a) Mekkorák a teljes (oda‑vissza) menetidők és az átlagsebességek? (Az elindulások és megállások változó sebességű szakaszait hanyagoljuk el, a hajók mozgását vegyük végig állandó sebességűnek!)
Az állóvizen (tavon) közlekedő hajó:
${\Delta t}_{\mathrm{össz}}=8\ \mathrm{h}$
$\displaystyle v_{\mathrm{átl}}=12\ \mathrm{\frac{km}{h}}$
A folyón közlekedő hajó:
$\displaystyle {\Delta t}_{\mathrm{össz}}=9\ \mathrm{h}$
$\displaystyle v_{\mathrm{átl}}=10,\dot{6}\ \mathrm{\frac{km}{h}}$
Számítsuk ki a menetidőket! Egy szakasz időtartama a megtett út és a szakaszon vett átlagsebesség hányadosa:
\[\Delta t=\frac{s}{v_{\mathrm{átl}}}\]
Az állóvízen közlekedő hajó
Az állóvizen közlekedő hajó átlagsebessége az odaúton és a visszaúton is ugyanaz a $v_{\mathrm{H}}=12\ \mathrm{\displaystyle \frac{km}{h}}$, a megtett útja egy irányban \(48\ \mathrm{km}\):
\[\Delta t=\frac{s}{v}\]
\[\Delta t=\frac{48\ \mathrm{km}}{12\ \mathrm{\displaystyle \frac{km}{h}}}\]
\[{\Delta t}_{\mathrm{oda}}=4\ \mathrm{h}\]
A teljes úton (oda-vissza):
\[{\Delta t}_{\mathrm{össz}}=8\ \mathrm{h}\]
Az áltlagsebessége:
$$v_{\mathrm{átl}}=\frac{s}{\Delta t}$$
$$v_{\mathrm{átl}}=\frac{96\ \mathrm{km}}{8\ \mathrm{h}}$$
$$v_{\mathrm{átl}}=12\ \mathrm{\frac{km}{h}}$$
A folyón közlekedő hajó
A folyóvizen közlekedő hajó folyásirányban (lefelé) haladva a földhöz képest nagyobb sebességgel halad, mert az ő vízhez képesti sebességéhez a folyó sodrási sebessége hozzáadódik:
\[v_{\mathrm{LE}}=v_{\mathrm{H}}+v_{\mathrm{S}}\]
\[v_{\mathrm{LE}}=12\ \mathrm{\frac{km}{h}}+4\ \mathrm{\frac{km}{h}}\]
\[v_{\mathrm{LE}}=16\ \mathrm{\frac{km}{h}}\]
Ezzel a lefelé út ideje:
\[\Delta t_{\mathrm{LE}}=\frac{s}{v_{\mathrm{LE}}}\]
\[\Delta t_{\mathrm{LE}}=\frac{48\ \mathrm{km}}{16\ \mathrm{\displaystyle \frac{km}{h}}}\]
\[\Delta t_{\mathrm{LE}}=3\ \mathrm{h}\]
Folyásiránnyal szemben (felfelé) pedig a földhöz képest sebessége kisebb, mert ,,kivonódik belőle'' a folyó sodrási sebessége:
\[v_{\mathrm{FEL}}=v_{\mathrm{H}}-v_{\mathrm{S}}\]
\[v_{\mathrm{FEL}}=12\ \mathrm{\frac{km}{h}}-4\ \mathrm{\frac{km}{h}}\]
\[v_{\mathrm{FEL}}=8\ \mathrm{\frac{km}{h}}\]
Ezzel a felfelé út ideje:
\[\Delta t_{\mathrm{FEL}}=\frac{s}{v_{\mathrm{FEL}}}\]
\[\Delta t_{\mathrm{FEL}}=\frac{48\ \mathrm{km}}{8\ \mathrm{\displaystyle \frac{km}{h}}}\]
\[\Delta t_{\mathrm{FEL}}=6\ \mathrm{h}\]
A folyón közlekedő hajó oda-vissza (összes) menetideje ezek alapján:
\[{\Delta t}_{\mathrm{össz}}=\Delta t_{\mathrm{LE}}+\Delta t_{\mathrm{FEL}}\]
\[{\Delta t}_{\mathrm{össz}}=3\ \mathrm{h}+6\ \mathrm{h}\]
\[{\Delta t}_{\mathrm{össz}}=9\ \mathrm{h}\]
Ez alapján az átlagsebessége:
$$v_{\mathrm{átl}}=\frac{s}{\Delta t}$$
$$v_{\mathrm{átl}}=\frac{96\ \mathrm{km}}{9\ \mathrm{h}}$$
$$v_{\mathrm{átl}}=10,\dot{6}\ \mathrm{\frac{km}{h}}$$
b) Miért nem ,,oltja ki egymást'' a sodrás hatása lefelé illetve felfel? Hiszen a folyó lefelé menet ugyanannyit ,,segít rá'' a hajónak sodrásával, amennyit felfelé menetben "akadályoz".
Mert nem ugyanannyiszorosan növeli lefelé menet a sodrás a hajó (földhöz képesti) sebességét, mint ahányszorosan felfelé menet csökkenti (csupán ugyanannyival).
A folyó sodrása lefelé illetve felfelé menet hiába azonos mértékkel módosítja a hajó sebességét, a menetidőt lefelé illetve felfelé különböző mértékkel változik. Mi ennek a háttere?
A menetidőt pontosan hogyan befolyásolja a sebesség? Nézzük a sebesség és az idő összefüggését:
$$v=\frac{s}{\Delta t}$$
Ebből az látszik, hogy ahányszor nagyobbra növekszik egy sebesség, annyiszor lesz kisebb lesz az új menetidő (változatlan $s$ út esetén). Nem pedig amennyivel növekszik a sebesség, annyival rövidül a menetidő. Márpedig a mi hajónknál a sodrás lefelé illetve felfelé nem ugyanannyiszorosan növeli illetve csökkenti a sebességet, hanem ugyanannyival.
c) Mekkora sebességű folyón lenne azonos az oda‑vissza menetideje a két hajónak? (A többi adat maradjon változatlan.)
Semilyen sebességnél nincs ilyen, a folyón mindig nagyobb a menetidő, mint a tavon.
A folyón közlekedő hajó teljes menetideje a lefelé illetve felfelé időtartamok összege:
\[\Delta t_{\mathrm{össz}}=\Delta t_{\mathrm{LE}}+\Delta t_{\mathrm{FEL}}\]
Az időtartam mindig az út és a sebesség hányadosa, ezt beírva:
\[\Delta t_{\mathrm{össz}}=\frac{s}{v_{\mathrm{LE}}}+\frac{s}{v_{\mathrm{FEL}}}\]
Lefelé menet (a parthoz rögzített vonatkoztatási rendszerben) a hajó \(v_{\mathrm{H}}\) sebességéhez hozzáadódik a \(v_{\mathrm{S}}\) sodrási sebesség, felfelé pedig kivonódik belőle.
\[\Delta t_{\mathrm{össz}}=\frac{s}{v_{\mathrm{H}}+v_{\mathrm{S}}}+\frac{s}{v_{\mathrm{H}}-v_{\mathrm{S}}}\]
Válasszunk olyan furcsa mértékegységrendszert, melyben a két állomás közötti \(s\) távolság éppen 1 hosszegység, a hajó sebessége pedig éppen 1 sebességegység. Ekkor az ösz menetidő:
\[\Delta t_{\mathrm{össz}}=\frac{1}{1+v_{\mathrm{S}}}+\frac{1}{1-v_{\mathrm{S}}}\]
Ha a sodrási sebességet x-szel jelöljük, akkor még egyszerűbb lesz:
\[\Delta t_{\mathrm{össz}}=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}\]
A tavon közlekedő hajó összesen 2 egység távolságot tesz meg 1 egységnyi sebességgel, vagyis az ő teljes menetideje 2 időegység. Vagyis azt kell megvizsgálnunk, hogy a folyós hajó össz menetideje mindig nagyobb-e, mint 2:
\[\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}>2\]
Hozzuk közös nevezőre a bal oldalt:
\[\frac{1-x}{(1+x)\cdot (1-x)}+\frac{1+x}{(1-x)\cdot (1+x)}>2\]
alkalmazzuk az \((1+x)\cdot (1-x)=1-x^2\) azonosságot:
\[\frac{1-x}{1-x^2)}+\frac{1+x}{1-x^2}>2\]
összevonva a számlálókat:
\[\frac{2}{1-x^2}>2\]
Ha a sodrási sebességet jelentő \(x\) kisebb, mint a hajó sebességét jelző 1 egység, akkor a bal oldal nevezője mindig egy 1-nél kisebb pozitív szám. Ha a számlálóban lévő 2-t ezzel az 1-nél kisebb, pozitív számmal elosztjuk, akkor az eredmény tényleg nagyobb lesz, mint 2.
Ha a sodrási sebességet jelentő \(x\) pont egyenlő a hajó sebességével (1-gyel), akkor a menetidő végtelen: ez az az eset, amikor a hajó hiába próbál felfelé menni, mert ugyanakkora sebességgel sodorja lefelé a víz, így egy helyben fog álni, mi miatt végtelen hosszú idő lesz felérnie a célállomásig.
Ha a sodrási sebességet jelentő \(x\) nagyobb, mint a hajó sebességét jelző 1 egység, akkor a nevező negatív lesz így pedig a számlálóban lévő 2-t a negatív számmal osztva negatív időtartamot kapunk eredményül. Ennek fizikai jelentése nincsen.
d) Mekkorára nő a folyami hajó oda‑vissza menetideje, ha a tavaszi hóolvadás idején a folyó sebessége \(\displaystyle 24\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)-ra gyorsul?
Végtelenre.
A felfelé szakaszon hiába halad \(\displaystyle 20\ \mathrm{\frac{km}{h}}\) sebességgel a folyó vízéhez képest, ha a folyó ennél nagyobb sebességgel (jelen esetben ez például \(\displaystyle 24\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)) sodorja lefelé. Ekkor "sosem ér fel".
e) Mekkora sebességgel haladjon felfelé menet a hajó a vízhez képest, hogy oda-vissza ugyanannyi legyen a menetideje, mint az állóvízen közelekedők? (A többi adat legyen változatlan, tehát a lefelé menetben a vízhez képesti sebessége is!)
$\displaystyle v_{\mathrm{H}}=13,6\ \mathrm{\frac{km}{h}}$
Az állóvizes hajó teljes menetideje 8 óra. A folyón lefelé menet a hajó menetideje 3 óra, ezért a felfelé szakaszt 5 óra alatt kell megtennie. Ehhez a 48 kilométeres távnál szükséges sebesség:
$$v=\frac{s}{\Delta t}$$
Az adatokat $\mathrm{km}$, $\mathrm{h}$, $\mathrm{km/h}$ egységekben beírva:
$$v=\frac{48}{5}$$
$$v=9,6\ \mathrm{\frac{km}{h}}$$
Ez a sebesség úgy adódik ki, hogy a hajónak a vízhez képesti $v_{\mathrm{H}}$ sebességét a sodrás $v_{\mathrm{S}}$ értékkel csökkenti:
$$9,6\ \mathrm{\frac{km}{h}}=v_{\mathrm{H}}-v_{\mathrm{S}}$$
A sodrás sebessége változatlan:
$\displaystyle v_{\mathrm{S}}=4\ \mathrm{\frac{km}{h}}$
Ezt beírva:
$$9,6\ \mathrm{\frac{km}{h}}=v_{\mathrm{H}}-4\ \mathrm{\frac{km}{h}}$$
$$v_{\mathrm{H}}=13,6\ \mathrm{\frac{km}{h}}$$