Egy \(1\ \mathrm{m}\) magas dugattyúház belső keresztmetszete \(1\ \mathrm{dm^2}\), a benne könnyen mozgó, elhanyagolható vastagságú és tömegű mozgórész kezdetben \(2\ \mathrm{dm}\) magas, \(27\ \mathrm{^\circ C}\) hőmérsékletű nitrogéngáz-oszlopot zár el a külső környezettől. A mozgórész felett víz tölti ki a dugattyúházat, a külső légnyomás \(10^5\ \mathrm{Pa}\).
a) Mekkora a bezárt gáz nyomása?
\(108\ 000\ \mathrm{Pa}\)
Adatok:
\(A=1\ \mathrm{dm^2}=0,01\ \mathrm{m^2}\)
\(h_{v1}=0,8\ \mathrm{m}\)
\(h_1=0,2\ \mathrm{m}\)
\(p_{\mathrm{k}}=10^5\ \mathrm{Pa}\)
\(h_2=0,3\ \mathrm{m}\)
\(T_1=27\ \mathrm{^\circ C}=300\ \mathrm{K}\)
a) A kiindulási állapotban a gáz nyomása a külső nyomásnak és a dugattyún levő víz nyomásának összegével egyezik meg:
2 pont
\[p_1=p_{\mathrm{k}}+p_{\mathrm{víz}}=p_{\mathrm{k}}+\varrho\cdot g\cdot h\]
1 pont
azaz
\[p_1=10^5\ \mathrm{Pa}+1000\cdot 10\cdot 0,8\ \mathrm{Pa}=108\ 000\ \mathrm{Pa}\]
1 + 1 pont
b) Mekkora tömegű gáz van a tartályban? \(\displaystyle (M=28\ \mathrm{\frac{g}{mol}})\)
\(m=2,42\ \mathrm{g}\)
b) Ekkor a bezárt nitrogéngázra az ideális gázok állapotegyenletét felírva:
\[p_1\cdot V_1=n\cdot R\cdot T_1\]
1 pont
Behelyettesítve:
\[108\ 000\ \mathrm{Pa}\cdot 0,01\ \mathrm{m^2}\cdot 0,2\ \mathrm{m}=n\cdot 8,314\mathrm{\frac{J}{mol\cdot K}}\cdot 300\ \mathrm{K}\]
Innen
\[n=0,0866\ \mathrm{mol}\]
1 pont
azaz
\[\displaystyle m=n\cdot M=0,0866\ \mathrm{mol}\cdot 28 \mathrm{\frac{g}{mol}}=2,42\ \mathrm{g}\]
a keresett tömeg.
1 pont
c) Mekkora hőmérsékletre kellene a gázt melegítenünk, hogy a mozgórész \(1\ \mathrm{dm}\)‑rel feljebb emelkedjen?
\(T_2=172,8\ \mathrm{^\circ C}\)
c) Ha a mozgórész \(1\ \mathrm{dm}\)‑rel feljebb emelkedik, akkor a felette lévő térrészből kifolyik a víz egy része, és csak \(7\ \mathrm{dm}\) magas vízoszlop marad a mozgórész felett, így a nyomás a végállapotban csak a külső légnyomás \(+0,7\ \mathrm{m}\) magas vízoszlop nyomása lesz:
\[p_2=10^5\ \mathrm{Pa}+1000\cdot 10\cdot 0,7\ \mathrm{Pa}=107\ 000\ \mathrm{Pa}\]
1 pont
Mivel közben a bezárt gáz mennyisége nem változik, az állapotegyenlet ismételt felírásával az alábbi egyenlethez jutunk:
\[p_2\cdot V_2=n\cdot R\cdot T_2\]
1 pont
Behelyettesítve:
\[107\ 000\ \mathrm{Pa}\cdot 0,01\ \mathrm{m^2}\cdot 0,3\ \mathrm{m}=0,0866\ \mathrm{mol}\cdot 8,314\ \mathrm{\frac{J}{mol\cdot K}}\cdot T_2\]
1 pont
Innen
\[T_2=445,8\ \mathrm{K}=172,8\ \mathrm{^\circ C}\]
1 pont
Összesen:
12 pont