Egy \(80\%\) hatásfokú, \(150\ \mathrm{W}\) elektromos teljesítményű villanymotor \(800\ \mathrm{g}\) tömegű, \(10\ \mathrm{cm}\) sugarú köszörűkövet hajt. A köszörűkő oldalának \(18\ \mathrm{N}\) erővel szorítunk neki egy kést, miközben élezzük.
a) Mekkora a kés és a kő közötti csúszási súrlódási együttható, ha a köszörű közben \(\displaystyle 1500\ \mathrm{\frac{1}{perc}}\) fordulatszámmal forog?
\(\mu=0,424\)
Adatok:
\(\eta=0,8\)
\(P_{el}=150\ \mathrm{W}\)
\(m=800\ \mathrm{g}=0,8\ \mathrm{kg}\)
\(R=10\ \mathrm{cm}=0,1\ \mathrm{m}\)
\(F_{ny}=18\ \mathrm{N}\)
\(n=\displaystyle 1500\ \mathrm{\frac{1}{min}}=25\ \mathrm{\frac{1}{s}}\)
a) A köszörű mechanikai teljesítménye az elektromos teljesítmény \(80\%\)‑a:
\[P_{mech}=P_{el}\cdot \eta=150\ \mathrm{W}\cdot 0,8=120\ \mathrm{W}\]
1 pont
Egy tetszőleges \(t\) időtartam alatt végzett mechanikai munka kifejezhető egyrészt a teljesítmény és az idő szorzataként, másrészt definíció szerint $\mathrm{(erő} \cdot \mathrm{elmozdulás)}$:
\[W=P_{mech}\cdot t=F_s\cdot s\]
1 + 1 pont
Az elmozdulás a késnek a köszörűkő kerületén megtett útja
\[s=v\cdot t=(R\cdot \omega)\cdot t\]
1 pont
Mivel
\[\omega=\frac{2\cdot \pi}{T}\]
\[\omega=2\cdot \pi\cdot n\]
\[\omega=2\cdot \pi\cdot 25\]
\[\omega=157\frac{1}{\mathrm{s}}\]
így \(t\)-vel egyszerűsítve és behelyettesítve:
\[120=F_s\cdot 0,1\cdot 157\]
Innen
\[F_s=7,64\ \mathrm{N}\]
1 pont
Felhasználva a súrlódási erőre vonatkozó összefüggést
\[(F_s=\mu\cdot F_{ny})\]
és abba behelyettesítve:
\[7,64\ \mathrm{N}=\mu\cdot 18\ \mathrm{N}\]
Innen
\[\mu=0,424\]
a súrlódási együttható keresett értéke.
1 pont
b) Mennyi a kő forgásában tárolt energia?
\(E_f=49,3\ \mathrm{J}\)
b) Ekkor a köszörűkő forgásában tárolt energia:
\[E_f=\frac{1}{2}\cdot \theta\cdot \omega^2\]
1 pont
ahol hengeres testre
\[\theta=\frac{1}{2}\cdot m\cdot R^2\]
1 pont
behelyettesítve:
\[E_f=\frac{1}{2}\cdot \theta\cdot\omega^2\]
\[E_f=\frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{2}\cdot m\cdot R^2)\cdot \omega^2\]
\[E_f=\frac{1}{4}\cdot 0,8\cdot 0,1^2\cdot 157^2\]
\[E_f=49,3\ \mathrm{J}\]
1 pont
c) A kikapcsolás után hányszor fordulna még meg a kő, ha a kést közben ugyanúgy nekiszorítanánk?(A megoldás során a csapágysúrlódást és az egyéb veszteségeket tekintsük elhanyagolhatónak!)
\(N=10,27\) fordulat.
c) Ha kikapcsoljuk a hajtást, akkor a súrlódás felemészti a forgási energiát:
\[E_f=F_s\cdot s_1\]
Innen \(s_1\)-et kifejezve:
\[s_1=\frac{E_f}{F_s}=\frac{49,3\ \mathrm{J}}{7,64\ \mathrm{N}}\]
azaz
\[s_1=6,453\ \mathrm{m}\]
1 pont
Azt kell megnéznünk, hogy hányszor \((N)\) fordul meg a köszörű, miközben a kerületi pontja \(6,453\ \mathrm{m}\) utat tesz meg:
\[s_1=N\cdot (2\cdot R\cdot \pi)\]
1 pont
Innen \(N=10,27\) fordulat, ennyit fordul a kő a megállásig.
1 pont
Összesen:
13 pont