a)  Milyen hosszú a vasúti szerelvény?

$L=230,77\ \mathrm{m}$

Használjuk az alábbi jelöléseket:
A vonat sebessége a talajhoz viszonyítva: $v_V$
A ló sebessége a a talajhoz viszonyítva: $v_L$
A vasúti szerelvény hossza: $L$

 Első megoldás 

Válasszuk vonatkoztatási rendszernek a talajhoz rögzített koordinátarendszert! Ennek előnye, hogy ebben a rendszerben a sebességek kifejezései egyszerűek: a lovas $v_L$ sebességgel halad, a vonat pedig $v_V$ sebességgel. Hátránya, hogy a vonat illetve a lovas által megtett távolságokat ebben a vonatkoztatási rendszerben nem ismerjük, csak azt tudjuk, hogy egyirányú esetben az $50\ \mathrm{mp}$ alatt a lovas a szerelvény $L$ hosszával többet tesz meg, mint a vonat, illetve ellentétes irányú esetben a $15\ \mathrm{mp}$ alatt a lovas és a vonat összesen teszi meg a vonat $L$ hosszát. Vagyis itt a megtett utak kifejezése bonyolultabb, a sebességek egyszerűek.

Nézzük először az egyirányú esetet! Készítsünk ábrát, hogy a vonat által megtett út, a ló által megetett út és a vasúti szerelvény hossza közötti viszonyokat átlássuk:

Azt látjuk, hogy azonos irányban haladva a lovas a szerelvény $L$ hosszával többet tesz meg, mint a vonat:

$$s_L=s_V+L$$

$$s=v\cdot \Delta t$$

$$v_L\cdot \Delta t=v_V\cdot \Delta t+L$$

$$10\ \mathrm{{{m}\over {s}}}\cdot 50\ \mathrm{s}=v_V\cdot 50\ \mathrm{s}+L$$

$$500\ \mathrm{m}=v_V\cdot 50\ \mathrm{s}+L$$

$$L=500\ \mathrm{m}-v_V\cdot 50\ \mathrm{s}$$

Ez az egyenlet 2 ismeretlent tartalmaz, emiatt nem lehet megoldani (az egyenlet nem határozza meg az ismeretlenek konkrét értékeit, csak az egymáshoz való viszonyaikat, például itt annyit kaptunk, hogy ha 500-ból kinonjuk a vonat \(v_V\) sebességének 50‑szeresét, akkor megkapjuk  a szerelvény \(L\) hosszát). De aggodalomra semmi ok, hiszen van egy másik esetünk is, amikor is ellentétes irányú sebességgel halad el a lovas és a vasúti szerelvény egymás mellett. Erről is készítsünk ábrát:

Azt látjuk, hogy ebben a "szemben haladnak" esetben lovas és a vonat összesen tesznek meg annyi utat, amennyi a vasúti szerelvény $L$ hossza:

$$s_L+s_V=L$$

$$v_L\cdot \Delta t+v_V\cdot \Delta t=L$$

$$10\ \mathrm{{{m}\over {s}}}\cdot 15\ \mathrm{s}+v_V\cdot 15\ \mathrm{s}=L$$

$$150\ \mathrm{m}+v_V\cdot 15\ \mathrm{s}=L$$

Hogy megkapjuk a vonat $L$ hosszát, küszöböljük ki a másik ismeretlent, a $v_V$‑t. Ehhez fejezzük ki $v_V$‑t az egyik (mondjuk az első) egyenletből, és írjuk be a másikba:

$$L=500\ \mathrm{m}-v_V\cdot 50\ \mathrm{s}$$

$$v_V\cdot 50\ \mathrm{s}=500\ \mathrm{m}-L$$

$$v_V={{500\ \mathrm{m}-L}\over {50\ \mathrm{s}}}$$

Ezt beírjuk a második egyenletbe:

$$150\ \mathrm{m}+v_V\cdot 15\ \mathrm{s}=L$$

$$150\ \mathrm{m}+{{500\ \mathrm{m}-L}\over {50\ \mathrm{s}}}\cdot 15\ \mathrm{s}=L$$

$$150\ \mathrm{m}\cdot 50\ \mathrm{s}+\left(500\ \mathrm{m}-L\right)\cdot 15\ \mathrm{s}=L\cdot 50\ \mathrm{s}$$

$$7500\ \mathrm{m}\cdot \mathrm{s}+7500\ \mathrm{m}\cdot \mathrm{s}-L\cdot 15\ \mathrm{s}=L\cdot 50\ \mathrm{s}$$

$$15.000\ \mathrm{m}\cdot \mathrm{s}=L\cdot 65\ \mathrm{s}$$

$$L=230,77\ \mathrm{m}$$
 

 Második megoldás 

A vonatkoztatási rendszerünket most rögzítsük a mozgó vonathoz! Ennek az az előnye, hogy ebben a rendszerben a lovas által megtett út egyszerű: mindkét irányban a vasúti szerelvény $L$ hosszát teszi meg, az ismert idők alatt. Hátránya, hogy a sebességek kifejezése itt bonyolultabb.

Ebben a rendszerben vizsgálódva a lovas sebessége az első (egy irányú) esetben:

$$v_L-v_V$$

Ezzel a sebességgel kell megtennie a vasúti szerelvény $L$ hosszát, ami $50\ \mathrm{sec}$ alatt sikerül neki. Írjuk fel erre a sebesség definícióját:

$$v={{s}\over {\Delta t}}$$

$$v_L-v_V={{L}\over {50\ \mathrm{s}}}$$

A lovas sebessége ismert, de váltsuk át $\mathrm{\displaystyle {{km}\over {h}}}$‑ból $\mathrm{\displaystyle {{m}\over {s}}}$‑ba:

$$36\ \mathrm{{{km}\over {h}}}={{36}\over {3,6}}\ \mathrm{{{m}\over {s}}}=10\ \mathrm{{{m}\over {s}}}$$

$$10\ \mathrm{{{m}\over {s}}}-v_V={{L}\over {50\ \mathrm{s}}}$$

Továbbra is a vonathoz rögzített vonatkoztatási rendszert használva, a lovas sebessége a második esetben, amikor is ellentétes irányban haladnak:

$$v_L+v_V$$

Ezzel a sebességgel kell megtennie a lovasnak a vasúti szerelvény $L$ hosszát, ami most csak $15\ \mathrm{sec}$-ot vesz igénybe. Írjuk fel erre is a sebesség definícióját:

$$v={{s}\over {\Delta t}}$$

$$v_L+v_V={{L}\over {15\ \mathrm{s}}}$$

$$10\ \mathrm{{{m}\over {s}}}+v_V={{L}\over {15\ \mathrm{s}}}$$

Adjuk össze az eddigi két egyenletünket, a bal oldalakat is és a jobb oldalakat is:

$$10\ \mathrm{{{m}\over {s}}}-v_V+10\ \mathrm{{{m}\over {s}}}+v_V={{L}\over {50\ \mathrm{s}}}+{{L}\over {15\ \mathrm{s}}}$$

$$20\ \mathrm{{{m}\over {s}}}={{3L}\over {150\ \mathrm{s}}}+{{10L}\over {150\ \mathrm{s}}}$$

$$20\ \mathrm{{{m}\over {s}}}={{13L}\over {150\ \mathrm{s}}}$$

$$3000\ \mathrm{m}=13L$$

$$L=230,77\ \mathrm{m}$$

b)  Mekkora a vasúti szerelvény sebessége?

$v_V=5,385\ \mathrm{\displaystyle {{m}\over {s}}}=19,39\ \mathrm{\displaystyle {{km}\over {h}}}$

Írjuk be a megkapott $L$ hossz eredményt az egyirányú illetve ellentétes irányú eset közül az egyik ‑ mindegy melyik - egyenletébe, például az első (egyirányú) esetébe!
 

 Az első megoldásba írva 

$$L=500\ \mathrm{m}-v_V\cdot 50\ \mathrm{s}$$

$$230,77\ \mathrm{m}=500\ \mathrm{m}-v_V\cdot 50\ \mathrm{s}$$

$$v_V\cdot 50\ \mathrm{s}=269,23\ \mathrm{m}$$

$$v_V=5,385\ {\mathrm{{{m}\over {s}}}=19,39\ \mathrm{{km}\over {h}}}$$
 

 A második megoldásba írva 

$$10\ \mathrm{{{m}\over {s}}}-v_V={{L}\over {50\ \mathrm{s}}}$$

$$10\ \mathrm{{{m}\over {s}}}-v_V={{230,77\ \mathrm{m}}\over {50\ \mathrm{s}}}$$

$$10\ \mathrm{{{m}\over {s}}}-v_V=4,615\ \mathrm{{{m}\over {s}}}$$

$$v_V=5,385\ \mathrm{{{m}\over {s}}}=19,39\ \mathrm{{{km}\over {h}}}$$