Egy medencében \(1\ \mathrm{m}\) magasan áll a víz. A medence közepén egy \(180\ \mathrm{cm}\) magasságú függőleges oszlop áll a vízben. Azt látjuk, hogy a vízszintessel \(30\ \mathrm{fokos}\) szöget bezáró napsugarak által keltett árnyék éppen a medence széléig ér.
Milyen széles a medence, ha a víznek a levegőre vonatkoztatott relatív törésmutatója \(\displaystyle \frac{4}{3}\)?
$4,48$ méter
Adatok:
\(h_1=1\ \mathrm{m}\)
\(h_2=1,8\ \mathrm{m}\)
\(\varphi=30^\circ\)
\(n=\displaystyle \frac{4}{3}\)
Az \((1)\) derékszögű háromszög függőleges oldala (a rúd víz fölé nyúló része): \(h_2 - h_1=0,8\ \mathrm{m}\), a vízszintes oldala \(x_1\), és a \(\varphi\) szög \(30^\circ\). Emiatt:
\[\mathrm{tg}\thinspace \varphi=\frac{h_2-h_1}{x_1}\]
2 pont
Átrendezve:
\[x_1=\frac{h_2-h_1}{\mathrm{tg}\thinspace \varphi}=\frac{0,8\ \mathrm{m}}{\mathrm{tg}\thinspace 30^\circ}=1,39\ \mathrm{m}\]
1 pont
Ha a fénysugár \(\alpha=90^\circ-\varphi=60^\circ\) beesési szöggel a vízfelületre esik, akkor a vízben \(\beta\) irányban megy tovább, ahol \(\beta\) a fénytörés törvényéből számolható:
1 pont
\[\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=n\]
azaz
\[\frac{\sin{60^\circ}}{\sin{\beta}}=\frac{4}{3}\]
Innen
\[\beta=40,5^\circ\]
1 pont
Ennek segítségével a \((2)\) háromszögből:
1 pont
\[\mathrm{tg}\thinspace \beta=\frac{x_2}{h_1}\]
2 pont
Innen
\[x_2=h_1\cdot \mathrm{tg}\thinspace \beta=1\cdot \mathrm{tg}\thinspace 40,5^\circ=0,854\ \mathrm{m}\]
1 pont
Vagyis az oszlop \(x_1 + x_2=2,24\) méterre van a medence szélétől (a fénysugár éppen a sarokban ér a talajra), és az oszlop a medence közepén áll, így a medence szélessége \[4,48\ \mathrm{m\small é\normalsize ter}\]
1 pont
Összesen:
10 pont