a)  Milyen hosszú a mozgólépcső?

$L=9\ \mathrm{m}$

Írjuk le a mozgást a talajhoz rögzített koordinátarendszerben! Legyenek a következő jelölések:

Noémi sebessége: $v_N$
A mozgólépcső sebessége: $v_M$
A mozgólépcső hossza: $L$

Noémi sebességét ki tudjuk számolni, hiszen másodpercenként lép egy lépcsőfokot, ami $40\ \mathrm{cm}$:

$$v_N=\frac{40\ \mathrm{cm}}{1\ \mathrm{s}}={{0,4\ \mathrm{m}}\over {1\ \mathrm{s}}}=0,4\ \mathrm{{{m}\over {s}}}$$

Amikor áll a mozgólépcsőn, olyankor a $18\ \mathrm{mp}$ alatt a mozgólépcső a $v_M$ sebességével megteszi a mozgólépcső $L$ hosszátt, ez volt az első eltelt idő adaunk. Írjuk fel erre a sebesség definícióját:

$$v={{s}\over {\Delta t}}$$

$$v_M={{L}\over {{\Delta t}_1}}$$

$${\rm }{\rm }v_M={{L}\over {18\ \mathrm{s}}}\tag{1} \label{eq:(1)}$$

Amikor Noémi a felfelé menő mozgólépcsőn felfelé gyalogol, akkor a talajtól tekintve Noémi sebességéhez hozzáadódik a mozgólépcső sebessége, vagyis a sebességek összegével halad a talajhoz képest. Így teszi meg a mozgólépcső hosszát $10\ \mathrm{mp}$ alatt, ez volt a második eltelt idő adatunk:

$$v_N+v_M={{L}\over {{\Delta t}_2}}$$

$$v_N+v_M={{L}\over {10\ \mathrm{s}}}$$

Noémi sebességét már kiszámoltuk, ezért beírhatjuk:

$$0,4\ \mathrm{{{m}\over {s}}}+v_M={{L}\over {10\ \mathrm{s}}}\tag{2} \label{eq:(2)}$$

Most van két egyenletünk, írjuk be az \eqref{eq:(1)} egyenletet a \eqref{eq:(2)}‑be:

$$0,4\ \mathrm{{{m}\over {s}}}+{{L}\over {18\ \mathrm{s}}}={{L}\over {10\ \mathrm{s}}}$$

$$0,4\ \mathrm{m}+{{L}\over {18}}={{L}\over {10}}$$

$$180\cdot \left(0,4\ \mathrm{m}+{{L}\over {18}}\right)=180\cdot {{L}\over {10}}$$

$$72\ \mathrm{m}+10\ L=18\ L$$

$$72\ \mathrm{m}=8\ L$$

$$L=9\ \mathrm{m}$$

b)  Mekkora a mozgólépcső sebessége?

$v_M=0,5\ \mathrm{\displaystyle {{m}\over {s}}}$

A mozgólépcső sebességét az \eqref{eq:(1)} egyenletből kaphatjuk meg, csak be kell írnunk a mozgólépcső imént kiszámított $L$ hosszát:

$$v_M={{L}\over {18\ \mathrm{s}}}$$

$$v_M={{9\ \mathrm{m}}\over {18\ \mathrm{s}}}$$

$$v_M=0,5\ \mathrm{{{m}\over {s}}}$$

c)  Mennyi ideig tartana, ha lefelé menő mozgólépcsőn lefelé gyalogolna?

${\Delta t}_3=10\ \mathrm{s}$

Amikor a lefelé haladó mozgólépcsőn lefelé gyalogol, akkor a talajhoz rögzített rendszerből nézve ugyanúgy hozzáadódik a saját $v_N$ sebességéhez a mozgólépcső $v_M$ sebessége, mint amikor felfelé haladó mozgólépcsőn felfelé gyalogol. Ha ekkor is ugyanúgy $v_N+v_M$ a sebessége, és ugyanúgy $L$ hosszt kell megtennie. Márpedig ha ugyanakkora sebességgel ugyanannyi utat kell megtennie (mint a lefelé haladó mozgólépcsőn lefelé gyaloglás esetben), akkor az ugyanannyi időt is fog igényelni. Tehát $10$ másodperc lesz a menetidő.

d)  Mennyi ideig tartana feljutnia egy szintet, ha a lefelé menő mozgólépcsőn felfelé gyalogolna?

Soha nem jut így fel.

Válasszuk pozitív iránynak azt, amilyen irányba haladni szeretne, azaz a ferdén felfelé irányt!

Ha a lefelé menő mozgólépcsőn felfelé gyalogol, akkor a talajtól nézve az ő pozitív előjelű $v_N$ sebességhez hozzáadódik a mozgólépcső $v_M$ sebessége, ami viszont negatív irányú. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a saját sebességéből kivonódik a mozgólépcső sebessége. Ezért az ő sebessége ezúttal $v_N-v_M$ lesz. Ezzel kell megtennie az $L$ hosszt:

$$v_N-v_M={{L}\over {{\Delta t}_4}}$$

Írjuk be az adatokat:

$$0,4\ \mathrm{{{m}\over {s}}}-0,5\ \mathrm{{{m}\over {s}}}={{9\ \mathrm{m}}\over {{\Delta t}_4}}$$

$$-0,1\ \mathrm{{{m}\over {s}}}={{9\ \mathrm{m}}\over {{\Delta t}_4}}$$

$${\Delta t}_4=-90\ \mathrm{s}$$

A negatív eredmény azt mutatja, hogy így soha nem fog felérni a feljebb lévő szintre, hanem $90$ másodperc alatt (feljutási szándékával ellentétben) egy szinttel lejjebbre kerül.

Érthető is ez, hiszen Noémi saját sebessége csak \(\displaystyle 0,4\ \mathrm{\frac{m}{s}}\), ami kisebb, mint a mozgólépcső \(\displaystyle 0,5\ \mathrm{\frac{m}{s}}\)‑os sebessége, így ő mindenképp abba az irányba fog haladni, amerre a mozgólépcső. Úgy is fogalmazhatnánk, hogy a mozgólépcsőnek „túl erős a sodrása''. Ahhoz, hogy sikerüljön a lefelé haladó mozgólépcsőn felfelé gyalogolva felfelé haladnia, ahhoz Noémi sebességének nagyobbnak kellene lennie, mint a mozgólépcsőé.

e)  Mennyi ideig tartana lejutni egy szintet, ha felfelé menő mozgólépcsőn gyalogolna lefelé?

Soha nem jut így le.

Válasszuk ismét pozitív iránynak azt, amilyen irányba hősünk szeretne haladni, azaz most a ferdén lefelé irányt!

Ha most felfelé menő mozgólépcsőn gyalogol lefelé, akkor a talajtól nézve az ő pozitív előjelű $v_N$ sebességéhez most is hozzáadódik a mozgólépcső $v_M$ sebessége, ami most is negatív előjelű (hisz a választott pozitív irányunkkal ellentétes irányú). Tehát most is „ki kell vonni'' a saját sebességéből a mozgólépcsőét, ezért hősünk sebessége most is $v_N-v_M$ lesz. Ezzel kell megtennie az $L$ hosszt:

$$v_N-v_M={{L}\over {{\Delta t}_5}}$$

Írjuk be az adatokat:

$$0,4\ \mathrm{{{m}\over {s}}}-0,5\ \mathrm{{{m}\over {s}}}={{9\ \mathrm{m}}\over {{\Delta t}_5}}$$

$$-0,1\ \mathrm{{{m}\over {s}}}={{9\ \mathrm{m}}\over {{\Delta t}_5}}$$

$${\Delta t}_5=-90\ \mathrm{s}$$

Ugyanazt az egyenletet kaptuk. A negatív eredmény most is azt mutatja, hogy így soha nem fog lejutni a lejjebb lévő szintre, hanem $90$ másodperc alatt (lejutási szándékával ellentétben) egy szinttel feljebbre kerül.

Most is érthető ez, hiszen Noémi saját sebessége csak \(\displaystyle 0,4\ \mathrm{\frac{m}{s}}\), ami kisebb, mint a mozgólépcső \(\displaystyle 0,5\ \mathrm{\frac{m}{s}}\)‑os sebessége, így ő mindenképp abba az irányba fog haladni, amerre a mozgólépcső. Ugyanúgy fennáll, hogy a mozgólépcsőnek „túl erős a sodrása". Ahhoz, hogy sikerüljön a felfelé haladó mozgólépcsőn lefelé gyalogolva lefelé haladnia, ahhoz Noémi sebességének nagyobbnak kellene lennie, mint a mozgólépcsőé.

f)  Hogyan mérhette volna meg egyszerűbben a mozgólépcső sebességét?

Egy fix helyen azt megmérve, hogy két szomszédos lépcsőfok áthaladása között mennyi idő telik el.

A mozgólépcső bármely részén megméri, hogy mennyi ${\Delta t}_6$ idő telik el, míg egy egész lépcsőfok azon a ponton áthalad. Egy lépcsőről pedig tudjuk, hogy $40\ \mathrm{cm}$. Az értékekből:

$$v_M={{0,4\ \mathrm{m}}\over {{\Delta t}_6}}$$

A mérés pontossága fokozható, ha nem csak egy lépcsőfok áthaladásához szükséges időt méri meg, hanem mondjuk 10 lépcsőfokét, és a kapott időt elosztja 10‑zel, majd a fenti egyenletbe beírja.

g)  Hogyan mérhette volna meg máshogy a mozgólépcső (ferde szakaszának) hosszát?

Fénykép készítésével.

Készít egy fotót a mozgólépcsőről, és megszámolja, hogy a ferde szakaszon hány lépcsőfok van. A kapott számot megszorozza a lépcsőfokok élei között mért \(40\ \mathrm{cm}\)‑rel, így megkapja a mozgólépcső (ferde szakaszának) hosszát.