Az Apollo missziók rakétáit és az űrsiklókat a végső összeszerelő csarnokból egy hatalmas, 2700 tonnás lánctalpas szerkezettel szállították el a kilövőállásig. Ez a monstrum üresen ugyan kétszer gyorsabban tud haladni, mint a több ezer tonnás rakományával megpakolva, de még terheletlenül is olyan lassú, hogy megelőzi egy közepes tempóban gyalogló ember. Szeretnénk megmérni, milyen hosszú a gépezet és pontosan mekkora is a sebessége. Ezúttal új módszerrel próbálkozunk: "időmérő szerkezet hiányában" nem azt mérjük meg, hogy mennyi ideig tart, míg egyenletes tempóban elhaladunk mellette azonos illetve ellentétes irányban. Hanem bár ezúttal is egyenletes tempóban gyalogolunk el mellette (szintén egyszer azonos, másszor ellentétes irányban), de most inkább "lelépjük, hogy mellette elhaladva milyen hosszúnak tűnik". Vagyis időtartamok helyett ezúttal utakat mérünk.
a) Ha nem ismerjük a saját, gyaloglási sebességünket, attól még a két hossz megmérésével vajon meg tudjuk állapítani a monstrum sebességét és hosszát? Vagy legalább a kettő közül az egyiket?
A monstrum $L$ hosszát igen, de a sebességét nem. Csak az ember és a monstrum sebességének aránya határozható meg.
Írjuk le a mozgást a talajhoz rögzített koordinátarendszerben! Legyenek a következő jelölések:
A sétáló ember sebessége: $v_\mathrm{E}$
A monstrum sebessége: $v_\mathrm{M}$
A monstrum hossza: $L$
Az ember által megtett út azonos irány esetén: $s_{\mathrm{E1}}$
Az ember által megtett út ellentétes irány esetén: $s_{\mathrm{E2}}$
A monstrum által megtett út azonos irány esetén: $s_{\mathrm{M1}}$
A monstrum által megtett út ellentétes irány esetén: $s_{\mathrm{M2}}$
Az eltelt idő azonos irány esetén: ${\Delta t}_1$
Az eltelt idő ellentétes irány esetén: ${\Delta t}_2$
A sétáló ember sebességét ki tudjuk fejezni mindkét esetben:
$$v_{\mathrm{E}}={{s_{\mathrm{E1}}}\over {{\Delta t}_1}}\tag{1} \label{eq:951(1)}$$
$$v_{\mathrm{E}}={{s_{\mathrm{E2}}}\over {{\Delta t}_2}}\tag{2} \label{eq:951(2)}$$
Az első esetben, amikor azonos irányban haladnak, akkor az ember, mivel megelőzi a monstrumot, ezért nagyobb utat tesz meg nála, méghozzá pont a monstrum $L$ hosszával:
$$s_{\mathrm{E1}}=s_{\mathrm{M1}}+L\tag{3} \label{eq:951(3)}$$
Itt $s_{\mathrm{E1}}$ ismert, hiszen ezt mérjük meg, az $L$ hossz ismeretlen, míg az $s_{\mathrm{M1}}$ kifejezhető:
$$s_{\mathrm{M1}}=v_{\mathrm{M}}\cdot {\Delta t}_1$$
Az ebben lévő ${\Delta t}_1$ pedig kifejezhető az $\eqref{eq:951(1)}$ egyenletből:
$$s_{\mathrm{M1}}=v_\mathrm{M}\cdot {{s_{\mathrm{E1}}}\over {v_{\mathrm{E}}}}\tag{4} \label{eq:951(4)}$$
Ezt a $\eqref{eq:951(4)}$ egyenletet visszaírva $\eqref{eq:951(3)}$‑ba:
$$s_{\mathrm{E1}}=v_{\mathrm{M}}\cdot {{s_{\mathrm{E1}}}\over {v_{\mathrm{E}}}}+L$$
$$s_{\mathrm{E1}}={{v_{\mathrm{M}}}\over {v_{\mathrm{E}}}}\cdot s_{\mathrm{E1}}+L\tag{5} \label{eq:951(5)}$$
Ugyanezt a gondolatmenetet végig vihetjük a monstrummal ellentétes irányú gyalogló ember esetében is. Csak ezúttal a ${\Delta t}_2$ idő alatt az ember és a monstrum együttes megtett útja adja ki az $L$ hosszt:
$$s_{\mathrm{E2}}+s_{\mathrm{M2}}=L\tag{6} \label{eq:951(6)}$$
Most is igaz, hogy
$$s_{\mathrm{M2}}=v_{\mathrm{M}}\cdot {\Delta t}_2$$
Ebből pedig a $\eqref{eq:951(2)}$ egyenlet segítségével:
$$s_{\mathrm{M2}}=v_{\mathrm{M}}\cdot {{s_{\mathrm{E2}}}\over {v_{\mathrm{E}}}}\tag{7} \label{eq:951(7)}$$
Ezt beírva a $\eqref{eq:951(6)}$‑ba:
$$s_{\mathrm{E2}}+v_{\mathrm{M}}\cdot {{s_{\mathrm{E2}}}\over {v_{\mathrm{E}}}}=L$$
$$s_{\mathrm{E2}}={{v_{\mathrm{M}}}\over {v_{\mathrm{E}}}}\cdot s_{\mathrm{E2}}+L\tag{8} \label{eq:951(8)}$$
Tehát az $\eqref{eq:951(5)}$ és $\eqref{eq:951(8)}$ egyenleteket kaptuk eredményül:
\[\boxed{s_{\mathrm{E1}}={{v_{\mathrm{M}}}\over {v_{\mathrm{E}}}}\cdot s_{\mathrm{E1}}+L\ }\]
\[\boxed{s_{\mathrm{E2}}={{v_{\mathrm{M}}}\over {v_{\mathrm{E}}}}\cdot s_{\mathrm{E2}}+L\ }\]
Ez 2 egyenlet, és 3 ismeretlen, ami nem megoldható. De ha a $\displaystyle {{v_{\mathrm{M}}}\over {v_{\mathrm{E}}}}$ hányasdost, azaz a sebességek arányát tekintjük ismeretlennek, akkor csak 2 ismeretlenünk van, így meg lehet őket határozni. Vagyis ezzel a „lépéses'' módszerrel a monstrum $L$ hossza és a monstrum sebességének az emberéhez képesti $\displaystyle {{v_{\mathrm{M}}}\over {v_{\mathrm{E}}}}$ aránya is meghatározható, de az ember illetve a monstrum sebessége külön‑külön már nem.