Egy vízszintes tengely körül súrlódásmentesen forogni képes \(m\) tömegű tömör hengerre elhanyagolható tömegű cérnát csévéltünk, a cérna lelógó végét állandó \(F\) erővel húzzuk lefelé. A cérna jól tapad a korong széléhez, nem csúszik meg rajta.
a) Mekkora lesz a korong szöggyorsulása, ha a korong tömege \(m=0,5\ \mathrm{kg}\), sugara \(r=30\ \mathrm{cm}\), a húzóerő \(F=8\ \mathrm{N}\)?
\(\displaystyle \beta=106,7\ \mathrm{\frac{1}{s^2}}\)
Jelöljük a kialakuló erőket az ábrán!
A kötél alsó részénél ébredő \(K\) kötélerő amiatt azonos az általunk kifejtett \(F\) húzóerővel, mert a kötél tömeg nélküli, így a kötés alsó mondjuk \(1\ cm\)‑es szakaszának gyorsításához nem szükséges eredő erő (nem kell, hogy a kis darabka alsó részén nagyobb lefelé irányuló \(F\) erő legyen, mint a felső részén amekkora felfelé irányuló \(K\) erő).
Így a korongra az űáltalunk kifejtett \(F\) erővel azonos nagyságú erő hat, melynek erőkarja épp a korong sugara. Írjuk fel a forgómozgás alapegyenletét a korongra:
\[\Sigma M=\Theta\cdot \beta\]
\[K\cdot r=\frac{1}{2}mr^2\cdot \beta\]
\[F\cdot r=\frac{1}{2}mr^2\cdot \beta\]
\[8\cdot 0,3=\frac{1}{2}\cdot 0,5\cdot 0,3^2\cdot \beta\]
\[\beta=106,7\ \mathrm{\frac{1}{s^2}}\]
b) A nyugalmi helyzetből induló folyamat kezdetétől számítva mennyi idő múlva fog megtenni egy teljes fordulatot a korong?
\(\Delta t=0,343\ \mathrm{s}\)
Mivel a korong szögggyorsulását okozó \(F\cdot r\) forgatónyomaték állandó, ezért a kialakuló \(\beta\) szöggyorsulás is állandó, azaz a forgás egyenletesen változó, emiatt a megtett szögelfordulás képlete:
\[\Delta \varphi=\frac{1}{2}\cdot \beta \cdot (\Delta t)^2\]
Egy teljes körbefordulás \(2\pi\) szögelfordulást jelent radiánban mérve. Ezt, és az imént kiszámolt szöggyorsulás értékét behelyettesítve:
\[2\pi=\frac{1}{2}\cdot 106,7\cdot (\Delta t)^2\]
\[\Delta t=0,343\ \mathrm{s}\]