a)  Mekkora sebességre gyorsul fel a csónak a stéghez képest, mire Jani a becsapódása végére eszméletét veszti a csónak alján? (A víz által a mozgó csónakra kifejtett közegellenállási erő ugyan nem jelentéktelen, de mivel sebességfüggő, ezért nagyon bonyolult lenne számításba venni, úgyhogy most mi az egyszerűség kedvéért inkább hanyagoljuk el!)

$\displaystyle v_{\mathrm{k}}=2,4\ \mathrm{\frac{m}{s}}$

Jani és a csónak találkozása egy tökéletesen rugalmatlan ütközés, mivel végül együtt fognak haladni, azaz a sebességkülönbségük teljesen eltűnik, nullára csökken. Rugalmatlan ütközésnél az összes mozgási energia nem marad meg (hanem részben vagy egészben disszipálódik), de a lendületmegmaradás érvényes. Legyen:

• Jani tömege $m_{\mathrm{J}}$
• Jani kezdeti sebesége $v_{\mathrm{J}}$
• a csónak tömege $m_{\mathrm{cs}}$
• a csónak kezdeti sebessége nulla
• az ütközés utáni közös sebesség $u_{\mathrm{k}}$

A pozitív irányt válasszuk Jani kezdeti "repülési" sebessége irányába! A lendületmegmaradást felíhatjuk:

$$\Sigma p=\mathrm{állandó}$$

$$m_{\mathrm{J}}\cdot v_{\mathrm{J}}+m_{\mathrm{cs}}\cdot 0=(m_{\mathrm{J}}+m_{\mathrm{cs}})\cdot v_{\mathrm{k}}$$

A jobb oldalon összevontuk janit és a csónakot, hiszen egy testként, közösen haladnak. A csónak a kezdeti nulla sebessége miatt kezdeti lendülettel nem rendelkezik, vagyis a bal oldal második lendülettagja nulla, így elhagyható:

$$m_{\mathrm{J}}\cdot v_{\mathrm{J}}=(m_{\mathrm{J}}+m_{\mathrm{cs}})\cdot v_{\mathrm{k}}$$

Az adatainkat SI-egységben beírva a mértékegységek elhagyhatók:

$$80\cdot 6=(80+120)\cdot v_{\mathrm{k}}$$

$$480=200\cdot v_{\mathrm{k}}$$

$$v_{\mathrm{k}}=\frac{480}{200}$$

$$v_{\mathrm{k}}=2,4\ \mathrm{\frac{m}{s}}$$

b)  Jani egy másik alkalommal a stég mellett parkoló, rögzítetlenül nyugvó csónakból kiugrott a stégre. A lassított felvétel tanulmányozásával az jött ki, hogy a csónakot elhagyva a levegőben Jani vízszintes sebessége a stéghez képest $\displaystyle v_{\mathrm{J}}=3\ \mathrm{\frac{m}{s}}$ volt. Mekkora sebességre tett szert ettől a csónak? (A víz közegellenállását most is hanyagoljuk el!)

$\displaystyle v_{\mathrm{cs}}=-2\ \mathrm{\frac{m}{s}}$

A lendületmegmaradást most is alkalmazhatjuk, hiszen vízszintesen nem hat erő a Janiból és csónakból álló rendszerre (csak a víz közegellenállása, amit elhanyagolunk).

$$\Sigma p=\mathrm{állandó}$$

Legyen most a kiugrás utáni sebességek jele $v_{\mathrm{J}}$ illetve $v_{\mathrm{cs}}$, a pozitív irány pedig megint Jani sebessége (csak most a későbbi sebessége). A kezdeti lendületünk nyilván nulla, hiszen kezdetben mindenki nyugalomban van:

$$0=m_{\mathrm{J}}\cdot v_{\mathrm{J}}+m_{\mathrm{cs}}\cdot v_{\mathrm{cs}}$$

Az adatainkat SI-egységekben beírva a  mértékegységek elhagyhatók:

$$0=80\cdot 3+120\cdot v_{\mathrm{cs}}$$

$$0=240+120\cdot v_{\mathrm{cs}}$$

$$120\cdot v_{\mathrm{cs}}=-240$$

$$v_{\mathrm{cs}}=-2\ \mathrm{\frac{m}{s}}$$

A mínusz előjel amiatt lett, mert a sebesség pozitív irányát Jani sebessége irányába vettük, a csónak pedig ezzel ellentétesen lökődött meg.

Mondhattuk volna tömören azt is, hogy a kezdeti nulla lendület úgy maradhat meg, ha a csónak annyiszor kisebb sebességgel lökődik meg hátra (Jani sebességéhez képest), ahányszor magyobb a tömege (Jani tömegéhez képest). És tényleg, hiszen 1,5-ször nagyobb a csónak tömege, és 1,5-ször kisebb sebességet kaptunk.

c)  Jani korábban (de már $80\ \mathrm{kg}$-osan) egy nyugvó, $120\ \mathrm{kg}$-os, hosszú csónak egyik végében állt, melynek ki volt szedve minden ülődeszkája. Hirtelen elkezdett rohanni a csónak túlvége felé. A fején lévő kamera felvételét kielemezve az derült ki, hogy a rohanás végén a csónakhoz képest már bravúros $\displaystyle 9\ \mathrm{\frac{m}{s}}$ sebességgel futott, amikor is "kirepült" a csónakból a vízbe, hatalmas ujjongás kíséretében. Mekkora sebességgel suhant a kiugráskor hátrafelé a csónak, és mekkora vízszintes sebességgel csapódott a vízbe Jani?

$\displaystyle v_{\mathrm{J}}=5,4\ \mathrm{\frac{m}{s}}$

$\displaystyle v_{\mathrm{cs}}=-3,6\ \mathrm{\frac{m}{s}}$

Először is el kell gondolkoznunk azon, hogy a sebességek kihez képest értendők. Ugyanis megszoktuk, hogy a stabilitást sugárzó, lábunk alatt lévő talajhoz képest vesszük a testek sebességét. Itt azonban Jani $\displaystyle 9\ \mathrm{\frac{m}{s}}$-os sebessége a csónakhoz képest van.
 

 1. megoldás 

A megszokások rabjaként, írjuk le mindkét test mozgását a parthoz képesti sebességekkel! Ekkor a kiugrás pillanatában sem Jani sebességét, sem a csónakét nem ismerjük. A lendületmegmaradást felírva:

$$\Sigma p=\mathrm{állandó}$$

Mivel kezdetben a csónak is és Jani is áll, ezért a kezdeti lendület nulla. A jelöléseink legyenek ugyanazok, mint a 2. kérdésben.

$$0=m_{\mathrm{J}}\cdot v_{\mathrm{J}}+m_{\mathrm{cs}}\cdot v_{\mathrm{cs}}$$

Az adatokat SI-egységben, a mértékegységek elhagyásával beírva:

$$0=80\cdot v_{\mathrm{J}}+120\cdot v_{\mathrm{cs}}$$

Az a baj, hogy két ismeretlenünk van, de csak egy egyenlet. Ilyenkor a kiút vagy az, hogy az egyik ismeretlent valami más dolog segítségével kiszámoljuk, vagy pedig felírunk egy további egyenletet, amiben szintén benne vannak az ismeretlenek, mert 2 egyenlettel már meghatározható 2 ismeretlen.

Azt az információt, hogy Jani $\displaystyle 9\ \mathrm{\frac{m}{s}}$-os sebességgel halad a csónakhoz képest, még nem használtuk. Ha a pozitív irányunkat Jani haladási irányába vesszük, akkor a csónak ehhez képest hátrafelé, azaz negatív irányba halad. Méghozzá Janihoz képest $\displaystyle 9\ \mathrm{\frac{m}{s}}$ sebességgel, azaz ennyivel kisebb a csónak sebessége. Ezt egyenletként felírva:

$$v_{\mathrm{cs}}=v_{\mathrm{J}}-9$$

Ezt beírva az előző egyenletbe:

$$0=80\cdot v_{\mathrm{J}}+120\cdot (v_{\mathrm{J}}-9)$$

$$0=80\cdot v_{\mathrm{J}}+120\cdot v_{\mathrm{J}} -1080$$

$$1080=200\ v_{\mathrm{J}}$$

$$v_{\mathrm{J}}=5,4\ \mathrm{\frac{m}{s}}$$

A csónak sebessége:

$$v_{\mathrm{cs}}=v_{\mathrm{J}}-9$$

$$v_{\mathrm{cs}}=5,4-9$$

$$v_{\mathrm{cs}}=-3,6\ \mathrm{\frac{m}{s}}$$

ahol a negatív előjel mutatja, hogy a választott pozitív iránnyal (Jani sebességével) ellentétesen suhant végül a csónak.

Megint csak mondhattuk volna, hogy a kezdeti nulla lendület úgy maradhat meg, ha a csónak annyiszor kisebb sebességre tesz szert (Janihoz képest), ahányszor nagyobb a tömege (Janihoz képest). Mivel a csónak 1,5-ször nagyobb tömegű, így 1,5-ször kisebb sebességre kell szert tennie a végére. És mivel a két sebesség különbsége 9, ezért

$$x+1,5x=9$$

$$2,5x=9$$

$$x=3,6$$

$$1,5x=5,4$$

pont, amit kaptunk.
 

 2. megoldás 

Szakítva a megszokással, választhatunk egy másik vonatkoztatási rendszert is, amiben leírjuk a testek mozgását, sebességeit. Például egy olyan, a talajhoz képest egyeneletesen mozgó rendszert, amely Jani talajhoz képesti végső $v_{\mathrm{J}}$ sebességével mozog (ami nem $\displaystyle 9\ \mathrm{\frac{m}{s}}$, hiszen az a csónakhoz képesti sebessége). Ebből a rendszerből nézve kezdetben mind Jani, mind a csónak (amikor még a talajhoz képest állnak) hátrafelé mozog $v_{\mathrm{J}}$ sebességgel, azaz $-v_{\mathrm{J}}$ mindkét kezdeti sebesség. A csónakból kirepüléskor pedig Jani (az új rendszerből nézve) nyugalomban van, míg a csónak hátrafelé kell haladjon a Janihoz képest ismert $\displaystyle 9\ \mathrm{\frac{m}{s}}$ sebességgel, azaz előjelhelyesen, precízen kiírva $\displaystyle -9\ \mathrm{\frac{m}{s}}$ sebességgel. Írjuk fel ebben a rendszerben a lendületmegmaradást a kezdeti és végállapotra:

$$m_{\mathrm{J}}\cdot (-v_{\mathrm{J}})+m_{\mathrm{cs}}\cdot (-v_{\mathrm{J}})=m_{\mathrm{J}}\cdot 0+m_{\mathrm{cs}}\cdot (-9)$$

A jobb oldal első tagja nulla, így elhagyjuk. Az adatainkat SI-egységben, a mértékegységek elhagyásával beírva:

$$80\cdot (-v_{\mathrm{J}})+120\cdot (-v_{\mathrm{J}})=120\cdot (-9)$$

$$-200\cdot v_{\mathrm{J}}=-1080$$

$$v_{\mathrm{J}}=5,4\ \mathrm{\frac{m}{s}}$$

A csónak ehhez képest $\displaystyle 9\ \mathrm{\frac{m}{s}}$ sebességgel hátradfelé halad, vagyis ennél $\displaystyle 9\ \mathrm{\frac{m}{s}}$-tel ksebb a sebessége:

$$v_{\mathrm{cs}}=v_{\mathrm{J}}-9$$

$$v_{\mathrm{cs}}=-3,6\ \mathrm{\frac{m}{s}}$$