a)  Mekkora az egyenlítőn a nyugvó testek $a_{\mathrm{cp}}$ centripetális gyorsulása a Föld tengely körüli forgása miatt?

\(a_{\mathrm{cp}}=0,0337\ \mathrm{\displaystyle {{m}\over {s^2}}}\)

A centripetális gyorsulás:

$$a_{\mathrm{cp}}={{v^2}\over {r}}=r\cdot \omega^2$$

Használjuk a második formulát! Ehhez először számítsuk ki, hogy az $\omega$ szögsebességet:

$$\omega={{\Delta \varphi}\over {\Delta t}}$$

Az egyenlítői nyugvó testek egy teljes fordulatot, azaz 2$\pi $ (rad) szögelfordulást 1 nap (1 day = 1 d) alatt tesznek meg:

\[\omega={{2π}\over {1\ d}}\]

\[\omega={{2π}\over {1\ d\cdot 24\ \mathrm{\displaystyle {{h}\over {d}}}\cdot 60\ \mathrm{\displaystyle {{min}\over {h}}}\cdot 60\ \mathrm{\displaystyle {{s}\over {min}}}}}\]

\[\omega={{2π}\over {86~400\ \mathrm{s}}}\]

\[\omega=7,272\cdot {10}^{-5}\ {{1}\over {\mathrm{s}}}\]

\[\omega^2=5,288\cdot {10}^{-9}{{1}\over \mathrm{{s^2}}}\]

A képletben szereplő $r$ a körmozgást végző test körpályájának sugara, ami a Föld egyenlítői sugara, amit megadtak, így most már mindent ismerünk a tengely körüli forgás miatti centripetális gyorsulás kiszámításához: 

\[a_{\mathrm{cp}}=r\cdot {\omega }^2\]

\[a_{\mathrm{cp}}=6,378\cdot {10}^6\ \mathrm{m}\cdot 5,288\cdot {10}^{-9}\ \frac{1}{\mathrm{s^2}}\]

\[a_{\mathrm{cp}}=0,0337\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]

b)  Hány %-a ez a földfelszíni, forgás miatti centripetális gyorsulás a $g$ nehézségi gyorsulásnak?

\(\displaystyle \frac{a_{\mathrm{cp}}}{g}=0,337\ \%\)

Hány %-a ez a nehézségi gyorsulásnak?

\[\frac{a_{\mathrm{cp}}}{g}=\frac{0,0337\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s^2}}}{10\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s^2}}}=0,00337=0,337\ \%\]

Tehát a Föld forgása miatti centripetális gyorsulás a $g$ nehézség gyorsulásnak kevesebb, mint fél %‑a.

c)  Milyen tempóban kellene forognia a Földnek a saját tengelye körül (vagyis milyen hosszúnak kellene lennie egy földi napnak), hogy az egyenlítőn az $a_{\mathrm{cp}}$ centripetális gyorsulás pont megegyezzen a \(\displaystyle g=10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\) nehézségi gyorsulással?

$1,393\ \mathrm{h}$

Induljunk ki most is a centripetális gyorsulás képletéből:

$$a_{\mathrm{cp}}={{v^2}\over {r}}=r\cdot \omega^2$$

Használjuk a második formulát! A centripetális gyorsulásunknak most $\displaystyle 10\ \mathrm{{{m}\over {s^2}}}$ nagyságúnak kell lennie. Először ez alapján számítsuk ki, hogy az $\omega$ szögsebességet:

$$a_{\mathrm{cp}}=r\cdot \omega^2$$

$$10\ \mathrm{{{m}\over {s^2}}}=6,366\cdot {10}^6\ \mathrm{m}\cdot ω^2$$

$$\omega^2={{10\ \mathrm{\displaystyle {{m}\over {s^2}}}}\over {6,366\cdot {10}^6\ \mathrm{m}}}=1,57\cdot {10}^{-6}\ {{1}\over \mathrm{{s^2}}}$$
$$\omega=1,253\cdot {10}^{-3}\ \mathrm{{{1}\over {s}}}$$

A kapott szögsebességből számítsuk ki a forgás $T$ periódusidejét:

$$\omega={{2π}\over {T}}$$

$$T={{2π}\over {ω}}={{2π}\over {1,253\cdot {10}^{-3}\ \mathrm{\displaystyle {{1}\over {s}}}}}=5013\ \mathrm{s}=1,393\ \mathrm{h}$$

Tehát a Földnek kevesebb, mit másfél óránként kellene a saját tengelye körül megfordulnia, hogy pont olyan nagy centripetális gyorsulással mozogjanak az egyenlítőn a felszíni testek, amekkora gyorsulást a nehézségi erő jelenleg is biztosít. Ez esetben a magukra hagyott testek lebegnének az egyenlítőn a földfelszín felett.

Vegyük észre: a földfelszín felett kb. 400 km magasságban keringő ISS (International Space Station, Nemzetközi űrállomás) pont ezt csinálja: a hatalmas \(\displaystyle 27\ 600\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)-s sebessége miatt \(24\) óra helyett csupán másfél órás a keringési periódusideje. Emiatt sosem zuhan le, nem „nehezedik súlyával'' a Földre, hanem állandó távolságban kering körülötte.

A valóságban az ISS nem körpályán, hanem attól kissé eltérő ellipszispályán kering, ahol a gravitáció (hozzánk képest kissé távolabb lévén a Föld tömegközéppontjától), már kicsit kisebb (a felszíni érték 88,5 %-a), emiatt az ISS-nek kicsit nagyobb a keringési periódusideje, mint az általunk az egyenlítőre számolt érték, konkrétan \(1,545\) óra.