Jani bácsi \(\displaystyle 6\ \mathrm{\frac{km}{h}}\) egyenletes sebességgel gyalogol a tőle \(\displaystyle 12\ \mathrm{km}\)‑re lakó barátjához, Bandi bácsihoz. Út közben kibicsaklik a bokája, ezért onnantól már csak \(\displaystyle 2\ \mathrm{\frac{km}{h}}\) egyenletes sebességgel tud haladni.
a) Mekkora út megtételénél történt a baleset, ha a teljes útra az átlagos sebesség pont a két sebesség számtani közepe, azaz \(\displaystyle 4\ \mathrm{\frac{km}{h}}\) lett?
Az út \(\displaystyle \frac{3}{4}\) részénél, azaz \(9\ \mathrm{km}\)-nél.
Írjuk fel az út, a átlagsebesség és az eltelt idő összefüggését a teljes útra:
\[v_{\mathrm{átl}}=\frac{s_{\mathrm{ö}}}{\Delta t_{\mathrm{ö}}}\]
Tudjuk, hogy a teljes út \(\displaystyle 12\ \mathrm{km}\) volt, és az átlagsebességet \(\displaystyle 4\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)-ra akarjuk belőni:
\[4\ \mathrm{\frac{km}{h}}=\frac{12\ \mathrm{km}}{\Delta t_{\mathrm{ö}}}\]
Ebből:
\[\Delta t_{\mathrm{ö}}=3\ \mathrm{h}\]
Jelölje \(\Delta t_1\) az első (a kibicsaklásig tartó) szakasz alatt eltelt időt! Ezalatt Jani bácsi \(s_1\) utat tett meg:
\[v_1=6\ \mathrm{\displaystyle \frac{km}{h}}\]
sebessággel. Ezek az adatok összefüggenek:
\[v_1=\frac{s_1}{\Delta t_1}\]
\[6\ \mathrm{\frac{km}{h}}=\frac{s_1}{\Delta t_1}\tag{1}\]
Ebben az egyenletben sajnos 2 ismeretlen van, emiatt nem tudjuk megoldani. De ugyanezt felírhatjuk a második szakaszra is:
\[v_2=\frac{s_2}{\Delta t_2}\]
\[2\ \mathrm{\frac{km}{h}}=\frac{s_2}{\Delta t_2}\tag{2} \label{eq:(2.1)}\]
Látszólag nem javult a helyzetünk, hiszen hiába lett egy új egyenletünk, az eddigi 2 ismeretlen mellé bejött 2 újabb ismeretlen is (az \(s_2\) és a \(\Delta t_2\)). De ezek az új ismeretlenek összefüggenek az eddigi két ismeretlenünkkel, az \(s_1\)-gyel és a \(\Delta t_1\)-gyel:
\[s_1+s_2=12\ \mathrm{km}\]
vagyis az \(s_2\)-t kicserélhetjük \(s_2=12\ \mathrm{km}-s_1\)-re.
Az eltelt idők is összefüggenek:
\[\Delta t_1+\Delta t_2=3\ \mathrm{h}\]
vagyis a \(\Delta t_2\)-t kicserélhetjük \(\Delta t_2=3\ h-\Delta t_1\)-re.
Írjuk be ezeket a $\eqref{eq:(2.1)}$ egyenletbe:
\[2\ \mathrm{\frac{km}{h}}=\frac{s_2}{\Delta t_2}\tag{2}\]
\[2\ \mathrm{\frac{km}{h}}=\frac{12\ \mathrm{km}-s_1}{3\ \mathrm{h}-\Delta t_1}\tag{2}\]
Most már 2 olyan egyenletünk van, amikben az ismeretlenek az \(s_1\) és a \(\Delta t_1\), így ez már egy megoldható egyenletrendszer:
\[6\ \mathrm{\frac{km}{h}}=\frac{s_1}{\Delta t_1}\tag{1}\]
\[2\ \mathrm{\frac{km}{h}}=\frac{12\ \mathrm{km}-s_1}{3\ \mathrm{h}-\Delta t_1}\tag{2}\]
Állapodjunk meg abban, hogy olyam mértékegységrendszert használunk, amiben az út egysége mindig \(\mathrm{km}\), az időé mindig \(\mathrm{h}\), a sebességé pedig mindig \(\displaystyle \ \mathrm{\frac{km}{h}}\), ekkor a mértékegységeket elhagyhatjuk, és az egyenletrendszerünk egyszerűbb lesz, és a számítások során az összes végeredményt mindig ebben a mértékegységrendszerbeli egységben kapjuk majd meg.
\[6=\frac{s_1}{\Delta t_1}\tag{1} \label{eq:(1)}\]
\[2=\frac{12-s_1}{3-\Delta t_1}\tag{2} \label{eq:(2.2)}\]
Fejezzük ki az $\eqref{eq:(1)}$ egyenletből a \(s_1\)-et:
\[s_1=6\cdot \Delta t_1\]
és írjuk ezt be a $\eqref{eq:(2.2)}$ egyenletbe:
\[2=\frac{12-s_1}{3-\Delta t_1}\tag{2}\]
\[2=\frac{12-6\cdot \Delta t_1}{3-\Delta t_1}\]
Oldjuk ezt meg:
\[2\cdot (3-\Delta t_1)=12-6\cdot \Delta t_1\]
\[6-2\cdot \Delta t_1=12-6\cdot \Delta t_1\]
\[4\cdot \Delta t_1=6\]
\[\Delta t_1=\frac{6}{4}\]
\[\Delta t_1=1,5\ \mathrm{h}\]
Tehát \(1,5\ \mathrm{h}\)-nál kellett történnie a kibicsaklásnak. De a kérdéés az volt, hogy hol történt, ezért még kiszámoljuk, hogy mennyit haladt az első szakaszban:
\[s_1=v_1\cdot \Delta t_1\]
\[s_1=6\ \mathrm{\frac{km}{h}}\cdot 1,5\ \mathrm{h}\]
\[s_1=9\ \mathrm{km}\]
vagyis ha a \(12\ \mathrm{km}\)-es út \(\displaystyle \frac{3}{4}\) távjánál, \(9\ \mathrm{km}\)-nél történik a kibicsaklás, akkor \(\displaystyle 4\ \mathrm{\frac{km}{h}}\) lesz az átlagsebesség.