a)  Induljon az időmérés akkor, amikor a membrán az egyensúlyi helyzeten halad át, méghozzá a pozitív irányba! Mekkora a membrán kitérése, sebessége és gyorsulása \(30\ \mathrm{ms}\)-nál, ha a körfrekvencia \(\displaystyle 200\ \mathrm{\frac{1}{s}}\) és az amplitúdó \(4\ \mathrm{mm}\)?

\(y=-1,12\ \mathrm{mm}\)

Az adataink:

\(t=\mathrm{30\ ms=0,03\ s}\)

\(\displaystyle \omega=\mathrm{200\ \frac{1}{s}}\)

\(A=\mathrm{4\ mm=0,004\ m}\)

A harmonikus rezgés kitérés-idő függvénye:

\[y=A\cdot \sin{(\omega t+\varphi_0)}\]

de most az egyensúlyi helyzetben, pozitív irányba haladva indul az időmérés, emiatt a \(\varphi_0\) kezdőfázis nulla:

\[y=A\cdot \sin{(\omega t)}\]

Helyettesítsünk be minden adatot SI egységben, így a mértékegységek elhagyhatók:

\[y=0,004\cdot \sin{(200\cdot 0,03)}\]

\[y=\mathrm{-0,00112\ m}\]

\[y=-1,12\ \mathrm{mm}\]

(Ügyeljünk, hogy a számológépünk RAD üzemmódban legyen!)

b)  Mekkora amplitúdóra változtattuk az iménti tiszta hang "erejét", ha a periódusidő nyolcadrészénél a kitérés \(0,5\ \mathrm{mm}\)?

\(A=0,0707\ \mathrm{mm}\)

Most is a harmonikus rezgés kitérés-idő függvényét kell hasznáélnunk, ami most is az alábbi alakú:

\[y=A\cdot \sin{(\omega t)}\]

Nézzük először az ismert adatainkat!

\[y=\mathrm{0,5\ mm=0,0005\ m}\]

\[\displaystyle t=\frac{T}{8}\]

Ehhez a periódusidőt is tudnunk kellene, de mi csak az \(\omega\) körfrekvenciát ismerjük. Viszont az összefügg a \(T\) periódusidővel:

\[\omega=\frac{2\pi}{T}\]

\[T=\frac{2\pi}{\omega}\]

és az tudjuk, hogy

\[\omega=\mathrm{200\ \frac{1}{s}}\]

Ezekből:

\[T=\mathrm{\frac{2\pi}{200\ \frac{1}{s}}}\]

\[T=0,0314\ \mathrm{s}\]

Ez alapján a kérdéses időpillanat:

\[t=\frac{T}{8}\]

\[t=\frac{0,0314\ \mathrm{s}}{8}\]

\[t=0,00393\ \mathrm{s}\]

Most már minden adatunk megvan, így behelyettesítünk, mindent SI egységben:

\[y=A\cdot \sin{(\omega t)}\]

\[0,0005=A\cdot \sin{(200\cdot 0,00393)}\]

\[0,0005=A\cdot \sin{0,786}\]

\[0,0005=A\cdot 0,707\]

\[A=7,07\cdot 10^{-4}\ \mathrm{m}\]

\[A=0,707\ \mathrm{mm}\]