A Galilei hőmérő egy zárt, hengeres üvegedény, mely vízzel van töltve, a vízben pedig színes "üvegcseppek" úsznak. Az üvegcseppek teljesen zártak, félig színezett vízzel, félig levegővel vannak töltve. Mindegyik csepp alján lóg egy fém biléta, beleütve egy hőmérsékletjelzéssel, például \(24\ \mathrm{{}^\circ C}\). A hőmérsékletet a következőképpen kell leolvasni: szerencsés esetben éppen középen lebeg az egyik üvegcsepp, ilyenkor annak jelzését kell nézni. Ha nincs olyan, mely lebeg, akkor az ehhez az állapothoz "legközelebb álló" cseppeket kell nézni, vagyis az alul tanyázók közül a legfelsőt, illetve a felül úszók közül a legalsót. A rajtuk szereplő hőmérsékletek között van a pillalnatnyi hőmérséklet.
a) Képzeljük el, hogy egy meleg nyári napon az egyik színes üvegcsepp épp középen lebeg a Galilei-hőmérő vízében. Merre indul el ez az üvegcsepp, ha a szoba hőmérséklete növekszik?
Lefelé.
Az éppen lebegő üvegcseppre milyen erők hatnak? Készítsünk ábrát:
Mivel a csepp nyugalomban lebeg, ezért nincs gyorsulása, ami
\[\Sigma F=m\cdot a\]
alapján csak úgy lehet, hogy a rá ható erők eredője nulla. A cseppre ható \(mg\) nehézségi erő és a felhajtóerő pedig (mivel ők ellentétes irányúak), úgy tudják kiegyenlíteni, kioltani egymást, ha azonos nagyságúak.
Mi történik ezekkel az erőkkel, ha a szoba hőmérséklete megnövekszik? Az \(mg\) nehézségi erő emiatt nem változik semmit. A felhajtóerő a kiszorított folyadék (jelen esetben víz) súlyábal egyezik meg. Egy test súlya pedig nyugalomban annyi, mint a rá ható nehézségi erő:
\[F_{felh}=m_{kisz\ \textit{víz}}\cdot g\]
Egy tömeg a sűrűség
\[\varrho=\frac{m}{V}\]
definíciója alapján mindig:
\[m=\varrho \cdot V\)
Vagyis a felhajtóerő:
\[F_{felh}=\varrho_{\textit{víz}}\cdot V_{kisz\ \textit{víz}}\cdot g\]
Milyen hatással lesz a felhajtóerő szorzótényezőire, ha a szoba hőmérséklete növekszik? A víz kitágul, tehát sűrűsége csökkenni fog (a víz képes ugyan melegítés hatására összehúzódni is, de csak \(0\ \mathrm{{}^\circ C}\) és \(4\ \mathrm{{}^\circ C}\) közötti hőmérséklet-tartományban, márpedig a feladat egy meleg nyári napot ír, amikor nincs ennyire hűvös). A víz sűrűségváltozása tehát csökkenti a felhajtóerőt. Azonban az üvegcsepp is hőtágulást fog elszenvedni, úgyhogy a kiszorított térfogat növekedni fog. A két hatás ellentétes irányú a szorzat eredményére nézve. Ilyenkor általánosságban megeshet az is, hogy a két ellentétes hatás kioltja egymást, de az is, hogy az egyik hatás "erősebb", és az győz. Ehhez meg kell vizsgálnunk, hogy melyik hatás mekkora.
A víz térfogati hőtágulási együtthatója
\[{\beta }_{víz}\approx 250\cdot {10}^{-6}\ \frac{1}{\mathrm{{}^\circ C}}\]
mígy a hőálló üvegé, amiből az üvegtechnikusok által készített tárgyak, így a Galilei-hőmérő hengere és üvegcseppjei is vannak:
\[{\beta }_{üveg}\approx 4\cdot {10}^{-6}\ \frac{1}{\mathrm{{}^\circ C}}\]
Tehát a Galilei-hőmérőben a víz hőtágulása kb. 60‑szor nagyobb, mint az üvegé. Így az időjárás felmelegedésekor a víz sokszorta nagyobbat tágul, mint az üvegcsepp. Emiatt az üvegcsepp által kiszorított víz térfogata ahányszor csökken, ahhoz képest a víz sűrűsége 60-szor nagyobb arányban csökken. Tehát itt egyértelműen a víz hőtágulása az "erősebb" effektus, emiatt mellette a másik effektust (az üvegcsepp térgogatnövekedését) el is hanyagolhatjuk. Ez alapján a felhajtóerő végül is csökkenni fog. Ha a felhajtóerő csökken, akkor az erőegyensúly megbomlik, az eredő erő pedig lefelé fog mutatni:
Tehát az időjárás melegedésétől a lebegő üvegcsepp lefelé fog elmozdulni.
b) Képzeljük el, hogy épp nincs középen üvegcsepp, de alul is vannak, és felül is cseppek. Hol vannak a magasabb hőmérsékletjelzésű cseppek, alul vagy felül?
A magasabb hőmérsékletet jelző cseppek vannak felül
Ha egy üvegcsepp a víz felszínénél úszik, akkor ő egy picikét "kilóg" a vízből, vagyis nem az egész térfogata merül a vízbe, vagyis nem a saját térfogatának megfelelő folyadékot szorít ki, csak kevesebbet. És így van egyensúlyban, vagyis a rá ható felhajtóerő így azonos nagyságú a rá ható \(mg\) nehézségi erővel. Tehát ha teljesen belemerülne, akkor a felhajtóerő már nagyobb lenne, mint a nehézségi erő, ezért elindulna felfelé.
Azok az üvegcseppek, amik nem tudnak feljutni a víz felszínére, azokkal az van, hogy esetükben is nagyobb a rájuk ható felhajtóerő, mint a nehézségi erő. De akkor hogyan vannak mégis egyensúlyban? Úgy, hogy a "torlódás miatt" fölöttük lévő üvegcsepp kifejt rájuk egy kis lefelé irányuló nyomóerőt.
Az előző kérdésben láttuk, hogy a hőmérséklet növekedésétől mindegyik üvegcseppre egyre kisebb felhajtóerő hat. Ezért ha kezdetben egy üvegcsepp a víz felszínén úszik, akkor a csökkenő felhajtóerő miatt egy darabig az történik, hogy egyre jobban belesüllyed a vízbe, hogy egyre több vizet szorítson ki. De ezzel a taktikával nem lesz képes akármeddig megőrizni az erőegyensúlyt. Az úszó üvegcseppek mindegyike számára bekövetkezhet egy kellően magas hőmérséklet, amikor a rá ható felhajtóerő már teljesen a vízbe merülve sem tudja kiegyenlíteni a nehézségi erőt. Ennél magasabb hőmérsékleten pedig a felhajtóerő elkerülhetetlenül kisebbé válik a nehézségi erőnél. Ekkor az üvegcsepp elkezd lesüllyedni.
Vagyis melegedés hatására az egyre magasabb hőmérsékleti jelzésű üvegcseppek kerülnek lebegő állapotba. És mivel melegítéstől az úszók sorra leszállnak, ezért muszáj, hogy kezdetben felül legyenek a magas hőmérsékleti jelzésű úszók, lent pedig az alacsony hőmérsékleti jelzésűek. És tényleg:
c) Amikor az összes csepp felül található, olyankor nagyon meleg van, vagy nagyon hideg?
d) Hókuszpók kifundálja, hogyan zavarhatná meg a törpök boldog életét. Éjszaka belopózik a törpök falujába, fúr egy észrevehetetlenül pici lyukat a Galilei-hőmérőjük üvegtartályára, és a benne lévő tiszta vizet sós vízre cseréli. Ez a megpiszkált Galilei-hőmérő a valódinál nagyobb vagy kisebb hőmérsékletet fog mutatni? A sós vízről az alábbi diagram áll a rendelkezésünkre:
e) Képzeljük el, hogy a gonosz Hókuszpók, hogy összezavarja szegény törpöket, éjszaka belopózik a falujukba, fúr egy vékony lyukat a hengeres üvegtartályra, és az addigi tiszta (desztillált) vizet ugyanolyan átlátszó látványú alkoholra cseréli. A valódinál nagyobb vagy kisebb hőmérsékletet fog ezután mutatni a megpiszkált Galilei‑hőmérő?