a)  Az ifjú startupper, Lebegő Levente (vagy ahogy az angol levitation szó után barátai becézik: Levi Levi) egy "antigravitációs szoba" tervvel rukkolt elő. Eszerint a szoba felett lenne egy jó nagy tömegű golyó, mely ugyanakkora gravitációs vonzást fejtene ki a szobában lévőkre (hajmeresztő módon felfelé!), mint amekkora a Föld megszokott gravitációs vonzása lefelé. Hogy minél kisebb méretű golyó képes legyen mindezt biztosítani, célszerű azt nagy sűrűségű anyagból készíteni, és itt jön képbe a sárga nemesfém, mely már évezredek óta megbabonázza az embereket. Mekkora sugarú tömör aranygolyóra lenne szükség a "lebegtető nyugiszoba" fölé, a fantasztikus terv megvalósításához?

$r=1850\ \mathrm{km}$

A Föld egy, a földfelszínen lévő $1\ \mathrm{kg}$ tömegű testre

$$F=m\cdot g$$

$$F=1\ \mathrm{kg}\cdot 10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}$$

$$F=10\ \mathrm{N}$$

erőt fejt ki. A kérdés az, hogy mekkora sugarú tömör aranygolyó fejtene ki erre az $1\ \mathrm{kg}$ tömegű testre ugyanekkora gravitációs vonzóerőt, ha az szinte a gömb szélénél van, hiszen ha messzebb lennénk a tömör aranygolyótól, akkor még nagyobb kellene belőle.

Írjuk fel a Newton-féle gravitációs törvényt erre az esetre:

$$F_{\mathrm{gr}}=f\frac{1\ \mathrm{kg}\cdot m_{\mathrm{g}}}{r^2}$$

$$10\ \mathrm{N}=6,67\cdot 10^{-11}\ \mathrm{\frac{N\cdot m^2}{kg^2}}\frac{1\ \mathrm{kg}\cdot m_{\mathrm{g}}}{r^2}$$

Mivel mindent SI-egységben írtunk be, a mértékegységerket elhagyhatjuk:

$$10=6,67\cdot 10^{-11}\cdot \frac{m_{\mathrm{g}}}{r^2}$$

ahol $m_{\mathrm{g}}$ az aranygolyó tömege, és $r$ a sugara. Látszólag ez a két dolog ismeretlen, vagyis egy egyenlet kevés. Viszont a két ismeretlen nem független egymástól, hiszen a tömeg mindig:

$$m=\varrho\cdot V$$

a gömb $V$ térfogata pedig:

$$V=\frac{4\pi}{3}r^3$$

ezek alapján az aranygolyó tömege:

$$m_{\mathrm{g}}=\varrho_{\mathrm{Au}}\cdot \frac{4\pi}{3}r^3$$

ahol $\varrho_{\mathrm{Au}}$ az arany sűrűsége. Ezt beírva a gravitációs egyenletbe:

$$10=6,67\cdot 10^{-11}\cdot \frac{m_{\mathrm{g}}}{r^2}$$

$$10=6,67\cdot 10^{-11}\cdot \frac{\varrho_{\mathrm{Au}}\cdot \frac{4\pi}{3}r^3}{r^2}$$

$$10=6,67\cdot 10^{-11}\cdot \frac{\varrho_{\mathrm{Au}}\cdot 4\pi r}{3}$$

beírva az arany sűrűségét, szintén SI-egységben:

$$10=6,67\cdot 10^{-11}\cdot \frac{19\ 300\cdot 4\pi r}{3}$$

$$r=1850\ \mathrm{km}$$

b)  Mennyi realitása van az elképzelésnek, tekintettel arra, hogy a világ teljes aranykészletét egy kocka alakba olvasztva annak élhosszúsága kb. 28 méter lenne?

Semennyi.

Az élet tragikus.