Gyorskeresés

A katódsugárcsövekben az izzókatódból termikus emisszióval kilépő elektronokat nagyfeszültséggel felgyorsítják, majd általában elektromos és/vagy mágneses mezővel eltértik. Így fedezte fel J. J. Thomson (későbbi nevén Lord Kelvin) az elektront 1897‑ben. Mivel az elektron töltése a protonéval azonos nagyságú, de az elektron kb. 1840-szer kisebb tömegű, ezért az elektront egy elektromos vagy mágneses mező nagyon "megrántja", azaz már egy kis erősségű mező is nagy gyorsulást okoz neki. A részecskék azon tulajdonságát, hogy elektromos vagy mágneses mező mekkora gyorsulásra kényszeríti őket, a részecske \(\displaystyle \frac{Q}{m}\) fajlagos töltésével (pontosabb nevén: tömegegységre vonatkoztatott fajlagos töltés) szokás jellemezni. Ugyanis a gyorsulás Newton II. törvénye alapján:

\[a=\frac{F}{m}\]

és hát mind az elektromos, mind mágneses Lorentz-erő egyenesen arányos a részecske \(Q\) töltésével:

\[\overrightarrow{F_E}=\overrightarrow{E}\cdot Q\]

\[\overrightarrow{F_L}=Q\cdot\left(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}\right)\]

emiatt a gyorsulás mind elektromos, mind mágneses Lorentz-erő esetén egyenesen arányos a \(\displaystyle \frac{Q}{m}\) fajlagos töltéssel.

Az elektronnak (a protonhoz képesti) kis tömege miatt jó nagy a fajlagos töltése (a protonéhoz képest), vagyis "könnyen rángatható" elektromos illetve mágneses mezőkkel. Szegény elektronokat az emberek gyakran rongyként rángatják is (például egy \(1800\ \mathrm{MHz}\) frekvencián működő mobiltelefon antennájában az elektronokat másodpercenként 3,6 milliárdszor irányváltoztatásra kényszerítik). Ennél mindenképp több tiszteletet és nyugalmat érdemelnének.

1.  Ahhoz, hogy az elektront nyugalmi helyzetből az emberi léptékkel irtózatos "egymillió méter per szekundum" sebességre (vagyis $3,6$ millió $\displaystyle \mathrm{\frac{km}{h}}$ sebességre) felgyorsítsuk, elegendő mindössze \(2,844\ \mathrm{V}\) gyorsítófeszültséget alkalmaznunk. Mekkora ez alapján az elektron fajlagos töltése?

\(\displaystyle \frac{e}{m}=1,758\cdot 10^{11}\ \mathrm{\frac{C}{kg}}\)

A feszültség az egységnyi töltésen végzett munkát jelenti:

\[U=\frac{W}{Q}\]

Ez alapján ha egy \(Q\) töltés \(U\) feszültségű pontok között halad át, akkor az elektromos mező munkavégzése eközben:

\[W=Q\cdot U\]

A munkatétel szerint egy testre ható erő munkája megváltoztatja a test mozgási energiáját:

\[W=\Delta E_{mozg}\]

Ha a test nyugalomból \(v\) sebességre gyorsul, akkor a mozgásienergia‑változása:

\[\Delta E_{mozg}=\frac{1}{2}m\cdot v^2-\frac{1}{2}m\cdot 0^2\]

\[\Delta E_{mozg}=\frac{1}{2}m\cdot v^2\]

Írjuk fel a munkatételt egy \(e\) elemi töltésű elektron elektromos mezővel történő felgyorsítására!

\[e\cdot U=\frac{1}{2}mv^2\]

Ebből az elemi töltés:

\[\frac{e}{m}=\frac{v^2}{2U}\]

Beírva az adatokat:

\[\frac{e}{m}=\frac{\left(10^6\right)^2}{2\cdot 2,844}\]

\[\frac{e}{m}=1,758\cdot 10^{11}\ \mathrm{\frac{C}{kg}}\]

2.  Egy \(8\ \mathrm{cm}\) átmérőjű, \(5\ \mathrm{dkg}\) tömegű fém gömbhéjat a szigetelőnyelével fogva hozzáérintünk a \(200\ \mathrm{kV}\) feszültséget produkáló Van de Graaff generátor felső, nagy gömbjéhez, ilyen módon feltöltjük, majd eltávolítjuk a generátortól. Mekkora lesz ekkor a kis fémgömb \(\displaystyle \frac{Q}{m}\) fajlagos töltése? Ez hányszor nagyobb/kisebb fajlagos töltés, mint az elektroné?

\(\displaystyle \frac{Q}{m}=1,77\cdot 10^{-5}\ \mathrm{\frac{C}{kg}}\)

ami \(\approx 10^{16}\)‑szor kisebb, mint az elektroné

Fémtest belsejében nyugalmi (sztatikus) esetben nem lehet elektromos térerőssség, mert az a fém könnyen mozgatható delokalizált (vezetési) elektronjait gyorsítaná, ami ellent mond a kiinduló sztatikus feltevésünknek. Ezért szatikus esetben egy fémtest egésze ekvipotenciális. Persze több fémtest esetén az egyes fémtestek lehetnek eltérő potenciálon. Amikor a kis gömböt hozzáérintjük a nagyhoz, akkor a nagyobb potenciálon lévő fémtestből a pozitív töltések átvándorolnának a kisebb potenciálúra. De mivel könnyen mozgatható pozitív töltések a fémekben nincsenek, ezért a negatív elektronok fognak megindulni, a nagyobb potenciálú hely felé. Nagyon rövid idő múlva az összeérintett fémek ekvipotenciálissá válnak (kiegyenlítődés). Vagyis a kis fémgömb is 

\[U=200\ \mathrm{kV}\]

feszültségre kerül (a referenciaponthoz képest). A \(\displaystyle \frac{Q}{m}\) fajlagos töltéséhez tudnunk kellene a \(Q\) töltését, hiszen a tömegét ismrjük:

\[m=5\ \mathrm{dkg}=0,05\ \mathrm{kg}\]

A gömb \(Q\) töltését megkaphatjuk, ha tudjuk az \(U\) feszültségét (amit tudunk is, hogy \(200\ \mathrm{kV}\)) és a \(C\) kapacitását, hiszen ezek összefüggenek:

\[C=\frac{Q}{U}\]

Az eltávolított kis fémgömbre használhatjuk a "mindentől távol álló \(r\) sugarú fémgömb kapacitása" képletet:

\[C_{\textit{gömb}}=\frac{r}{k}\]

A kis fémgömb \(8\ \mathrm{cm}\) átmérőjű, ebből a sugara:

\[r=4\ \mathrm{cm}=0,04\ \mathrm{m}\]

Beírva az adatokat:

\[C_{\textit{gömb}}=\frac{r}{k}\]

\[C_{\textit{gömb}}=\frac{0,04}{9\cdot 10^9}\]

\[C_{\textit{gömb}}=4,44\cdot 10^{-12}\ \displaystyle \mathrm{\frac{C}{V}}\]

Ezt beírca a kapacitás, töltés és feszültség

\[C=\frac{Q}{U}\]

összefüggésébe, méghozzá mindent SI egységben:

\[4,44\cdot 10^{-12}=\frac{Q}{200\ 000}\]

\[Q=8,88\cdot 10^{-7}\ \mathrm{C}\]

Ebből a kis fémgömb fajlagos töltése:

\[\frac{Q}{m}=\frac{8,88\cdot 10^{-7}}{0,05}\]

\[\frac{Q}{m}=1,77\cdot 10^{-5}\ \mathrm{\frac{C}{kg}}\]

Ez sok nagyságrenddel kisebb, mint az elektron fajlagis töltése, konkrétan:

\[\frac{1,77\cdot 10^{-5}}{1,758\cdot 10^{11}}\approx 10^{-16}\]

vagyis tízbilliárdszor kisebb a kis fémgömb fajlagos töltése, mint az elektroné.