Gyorskeresés

Népszerű gyerekjáték a lendkerekes autó. Ebben először egy nagyobb tömegű, nagyobb sugarú tárcsát valahogyan forgásba hozunk (jól felpörgetünk), és ennek a forgási energiája lesz az energiaforrás, hogy a haladás során a disszipációs veszteségeket (gördülési enneállás, csapágysúrlódás, légellenállás) egy darabig pótolhassuk.

1.  Egy igazi személyautót megpróbálunk lendkerekes hajtásúvá alakítani. Beszerelünk egy \(d=1\ \mathrm{m}\) átmérőjű vastárcsát, mely \(500\ \mathrm{kg}\) tömegű (ennél több terhet nem tud cipelni egy átlagos autó). Milyen vastag lenne ez a lendkerék?

\(\ell=0,08\ \mathrm{m}=8\ \mathrm{cm}\)

Ha a lendkerék vastárcsa (tömör korong) átmérője \(\d=1\ \mathrm{m}\), akkor a sugara \(r=0,5\ mqthrm{m}\). Milyen vastag legyen ez a korong? Induljunk ki abból, hogy a tömege:

\[m=500\ \mathrm{kg}\]

Mivel vasból van, a sűrűsége:

\[\varrho=7874 \mathrm{\frac{kg}{m^3}}\]

Ezek alapján lendkerék térfogata:

\[V=\frac{m}{\varrho}\]

\[V=\frac{500\ \mathrm{kg}}{7874\ \mathrm{\frac{kg}{m^3}}}\]

\[V=0,0635\ \mathrm{m^3}\]

A korong térfogata a körlap \(r^2\pi\) területének és a korong \(\ell\) vastagságának a szorzata:

\[V=r^2\pi\cdot \ell\]

Írjuk be az ismert adatokat, mindent SI egységben:

\[0,0635=0,5^2\cot 3,14\cdot \ell\]

\[\ell=0,08\ \mathrm{m}=8\ \mathrm{cm}\]

2.  Mekkora fordulatszámra kellene felpörgetni ezt a lendkereket, hogy a Tesla Model S-ben lévő \(100\ \mathrm{kWh}\)-s aksi energiáját eltárolja forgási energiaként?

\(\displaystyle n=540\ \mathrm{\frac{1}{s}}\)

\(\displaystyle n=32\ 400\ \mathrm{\frac{1}{min}}\)

Először is számoljuk ki, hogy a Tesla aksijában eltárolt \(100\ \mathrm{kWh}\) energia mennyi az energia SI-egységében, azaz joule-ban!

\[1\ \mathrm{kWh}=1000\ \mathrm{W}\cdot 1\ \mathrm{h}\]

\[1\ \mathrm{kWh}=1000\ \mathrm{W}\cdot 3600\ \mathrm{s}\]

\[1\ \mathrm{kWh}=3\ 600\ 000\ \mathrm{Ws}\]

\[1\ \mathrm{kWh}=3\ 600\ 000\ \mathrm{J}\]

A Teslában ennek a százszorosa van, így a Tesla aksi energiája:

\[E_T=3,6\cdot 10^8\ \mathrm{J}\]

Ennyi energiája kell legyen a lendkerék korongnak a forgás miatt. A forgási energia képlete:

\[E^{forg}=\frac{1}{2}\theta \omega^2\]

A tömör korongok tehetetlenségi nyomatéka:

\[\theta=\frac{1}{2}mr^2\]

Beírva a lendkerekünk adatait, mindent SI-egységben:

\[\theta=\frac{1}{2}\cdot 500\cdot 0,5^2\]

\[\theta=62,5\ \mathrm{kgm^2}\]

Most már egyenlővé tehetjük az energiákat:

\[E_T=E^{forg}\]

\[3,6\cdot 10^8\ \mathrm{J}=\frac{1}{2}\theta \omega^2\]

\[3,6\cdot 10^8\ \mathrm{J}=\frac{1}{2}\cdot 62,5\ \mathrm{kgm^2}\cdot \omega^2\]

Mivel minde adat SI-egységben van, a mértékegyséfgeket elhagyhatjuk:

\[3,6\cdot 10^8=\frac{1}{2}\cdot 62,5\cdot \omega^2\]

\[3,6\cdot 10^8=31,25\cdot \omega^2\]

\[\omega^2=11\ 520\ 000\]

\[\omega=3394\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]

De nem a szögsebességet kérdezték, hanem az \(n\) fordulatszámot. Mivel minden egyes fordulat \(2\pi\) szögelfordulással jár, ezért:

\[\omega=2\pi n\]

\[n=\frac{\omega}{2\pi}\]

\[n=\frac{3394}{2\pi}\]

\[n=540\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]

de ez a másodpercenkénti fordulatszám, míg a műszaki gyakorlatban a percenkénti fordulatszámot szokás megadni, ezért számoljuk át abba is! Mivel minden percben 60 másodperc van:

\[n=540\cdot 60\ \mathrm{\frac{1}{min}}\]

\[n=32\ 400\ \mathrm{\frac{1}{min}}\]

Ez őrült nagy fordulatszám. A mosógépek centrifugái legfeljebb 1000-et pörögnek percenként. Ilyen gyors forgásnál a legapróbb aszimmetriák miatt olyan hatalmas ún. deviációs (eltérítő) nyomatékok ébrednek, amik darabokra szaggatják az erős szerkezeteket is. Tehát sajnos a jelenlegi műszaki lehetőségek között nem tudjuk ilyen módszerrel hajtani az autókat.