Gyorskeresés

Egy kórházban a központi fűtés csőrendszerében a meleg vizet minden évben a 6 hónapos fűtési szezonon át folyamatosan keringeti egy $1800\ \mathrm{W}$‑os szivattyú (vízpumpa), ami általában 3 fűtési szezont bír ki, míg tönkre nem megy. Mindig $60\ \mathrm{ezer\ Ft}$‑ért kell egy szivattyút venni. A szivattyú szaküzletben azt javasolják a kórház beszerzőjének, hogy vegyen inkább egy drágább ($60\ \mathrm{ezer\ Ft}$‑os) szivattyút, mert az csak $1700\ \mathrm{W}$‑ot fogyaszt, az élettartama pedig azonos a régi vízpumpáéval. A villamosenergia egységára \(40\ \mathrm{\displaystyle \frac{Ft}{kWh}}\).

1.  Mennyit spórólhatunk meg 3 fűtési szezononként az eddigi szivattyúhoz képest, ha váltunk az új szivattyúra?

$22\ 560\ \mathrm{Ft}$-ot

A szivattyúkkal kapcsolatban kétféle költségünk van: egyrészt a $K_B$ beszerzési költség (a szivattyú vételára), másrészt $K_E$ energiaköltség, ami az energiafogyasztásának díja. Nézzük meg, mennyibe kerül a régi szivattyú összesen! Jelöljük K‑val a költségeinket egy életciklus (3 fűtési szezon) alatt!
$${\Sigma}K=K_B+K_E$$ 
$$K_B=60\ 000\ Ft$$ 
$$K_E={\Delta}E\cdot 40\ \mathrm{{{Ft}\over {kWh}}}$$ 
Mennyi a régi (1‑es számú) szivattyú ${\Delta}E_1$ energiafogyasztása a ${\Delta t}_C$ életciklusa alatt? Ezt a teljesítmény definíciójából határozhatjuk meg:
$$P={{\Delta E}\over {\Delta t}}$$ 
$${\Delta}E_1=P_1\cdot {\Delta t}_C$$ 
$${\Delta}E_1=1800\ \mathrm{W}\cdot {\Delta t}_C$$ 
Mekkora ${\Delta t}_C$ időn át működik a szivattyú a teljes élettartama, azaz 3 fűtési szezon alatt? Évente 6 hónapon át, vagyis az év felében megy folyamatosan, és 3 évig bírja, ezért:
$${\Delta t}_C=3\cdot {{365}\over {2}}\cdot 24\ \mathrm{h}=13.140\ \mathrm{h}$$ 
Írjuk be ezt az energia egyenletbe:
$${\Delta}E_1=1800\ \mathrm{W}\cdot {\Delta t}_C$$ 
$${\Delta}E_1=1800\ \mathrm{W}\cdot 13\ 140\ \mathrm{h}$$ 
Ebből majd az elhasznált energia Ft összegét kell kiszámolnunk, de az $\mathrm{\displaystyle {{Ft}\over {kWh}}}$ egységben van megadva. Ezért a ${\Delta}E_1$ értékét $\mathrm{kWh}$ egységben kellene kiszámolnunk, amihez a teljesítményt $\mathrm{W}$ helyett $\mathrm{kW}$ egységben kell beírnunk:
$${\Delta}E_1=1,8\ \mathrm{kW}\cdot 13.140\ \mathrm{h}=23.652\ \mathrm{kWh}$$ 
Ennek ára:
$$K_{1E}=23\ 652\ \mathrm{kWh}\cdot 40\ \mathrm{\displaystyle {{Ft}\over {kWh}}}=946\ 080\ \mathrm{Ft}$$ 
A régi szivattyú teljes költsége az életciklusa alatt:
$${\Sigma}K_1=K_{1B}+K_{1E}$$ 
$${\Sigma}K_1=60\ 000\ \mathrm{Ft}+946\ 080\ \mathrm{Ft}$$ 
$${\Sigma}K_1=1\ 006\ 080\ \mathrm{Ft}$$ 
Nézzük ugyanezt az új (2‑es számú) szivattyúra! Annak vételára, azaz beruházási költsége:
$$K_{2B}=90\ 000\ \mathrm{Ft}$$ 
Az energiaköltségét az eddigiekből már könnyen kiszámíthatjuk:
$${{\Delta}E}_2=1,7\ \mathrm{kW}\cdot 13\ 140\ \mathrm{h}=22\ 338\ \mathrm{kWh}$$ 
Aminek ára:
$$K_{2E}=22\ 338\ \mathrm{kWh}\cdot 40\ \mathrm{{{Ft}\over {kWh}}}=893\ 520\ \mathrm{Ft}$$ 
Az új szivattyú összes költsége az életciklusa alatt:
$${\Sigma}K_2=K_{2B}+K_{2E}$$ 
$${\Sigma}K_2=90\ 000\ \mathrm{Ft}+893\ 520\ \mathrm{Ft}$$ 
$${\Sigma}K_2=983\ 520\ \mathrm{Ft}$$ 
A megtakarításunk a kettő összköltség különbsége:
$$M={\Sigma}K_1-{\Sigma}K_2$$ 
$$M=1\ 006\ 080\ \mathrm{Ft}-983\ 520\ \mathrm{Ft}$$ 
$$M=22\ 560\ \mathrm{Ft}$$

2.  Hány %-kal csökkennek a szivattyúval kapcsolatos költségeink, ha váltunk?

2,24 %-kal

Ha a régihez képesti %‑os csökkenést keressük, akkor a régihez viszonyítunk. Hányszorosa az új összköltség a régihez képest?

$${{983\ 520\ \mathrm{Ft}}\over {1\ 006\ 080\ \mathrm{Ft}}}\approx 0,9776=97,76\ \%$$

Ez hány %‑os csökkenést jelent?

$$100\ \%-97,76\ \%=2,24\ \%$$

3.  Mennyi idő alatt térül meg a beruházás?

$\Delta t=7500\ \mathrm{h}=312,5\ \mathrm{nap}=0,85\ \mathrm{év}$

A beruházás megtérülése azt jelenti, hogy a kezdetben kifizetett többlet $30\ 000\ \mathrm{Ft}$ (az új gép $90\ 000\ \mathrm{Ft}$‑os ára a régi gép $60\ 000\ \mathrm{Ft}$-ja helyett) ,,mikorra térül vissza'' a pénztárcánkba annak révén, hogy onnantól a villanyszámláinkban mindig kevesebbet kell fizetnünk, hiszen az $1,7\ \mathrm{kW}$-os új szivattyú energiafogyasztása folyamatosan kevesebb lesz, mint az $1,8\ \mathrm{kW}$-os régié.

Vagyis a megtérülés akkor áll be, amikor anyagilag ugyanott tartunk, mintha a régi szivattyút üzemeltetnénk. Onnantól kezdve már folyamatosan nyerünk a kisebb energiaköltség miatt.

$$60\ 000\ \mathrm{Ft}+P_1\cdot \Delta t\cdot 40\ \mathrm{{{Ft}\over {kWh}}}=90\ 000\ \mathrm{Ft}+P_2\cdot \Delta t\cdot 40\ \mathrm{{{Ft}\over {kWh}}}$$

$$P_1\cdot \Delta t\cdot 40\ \mathrm{{{Ft}\over {kWh}}}=30\ 000\ \mathrm{Ft}+P_2\cdot \Delta t\cdot 40\ \mathrm{{{Ft}\over {kWh}}}$$

A $\mathrm{Ft}$&8209;tal leoszthatunk:

$$P_1\cdot \Delta t\cdot 40\ {{1}\over \mathrm{{kWh}}}=30\ 000+P_2\cdot \Delta t\cdot 40\ {{1}\over \mathrm{{kWh}}}$$

Írjuk be a $P_1$ és $P_2$ teljesítmény adatokat:

$$1,8\ \mathrm{kW}\cdot \Delta t\cdot 40\ \mathrm{{{1}\over {kWh}}}=30\ 000+1,7\ \mathrm{kW}\cdot \Delta t\cdot 40\ {{1}\over \mathrm{{kWh}}}$$

$$72\ \mathrm{kW}\cdot \Delta t\cdot {{1}\over \mathrm{{kWh}}}=30\ 000+68\ \mathrm{kW}\cdot \Delta t\cdot {{1}\over \mathrm{{kWh}}}$$

Vonjuk be a $\mathrm{kW}$ szorzótényezőket az $\displaystyle {{1}\over \mathrm{{kWh}}}$ törtekbe, más szóval egyesítsük őket:

$$72\cdot \Delta t\cdot {{\mathrm{kW}}\over {\mathrm{kWh}}}=30\ 000+68\cdot \Delta t\cdot {{\mathrm{kW}}\over {\mathrm{kWh}}}$$

Most már jól látszik, hogy a keletkezett törtekben egyszerűsíthetünk is az imént bevont $\mathrm{kW}$ tényezővel:

$$72\cdot \Delta t\cdot {{1}\over {\mathrm{h}}}=30\ 000+68\cdot \Delta t\cdot {{1}\over {\mathrm{h}}}$$

Vonjuk be az $\displaystyle {{1}\over {\mathrm{h}}}$ törtekbe a $\Delta t$ szorzótényezőket is:

$$72\cdot {{\Delta t}\over {\mathrm{h}}}=30\ 000+68\cdot {{\Delta t}\over {\mathrm{h}}}$$

A bal oldalon van 72 ,,krumplink'' $\left({\mathrm{\displaystyle {\Delta t}\over {h}}}\right)$ , a jobb oldalon meg 68 ugyanilyen krumplink $\left({\mathrm{\displaystyle {\Delta t}\over {h}}}\right)$ . Ezért egyszerűsíthetünk úgy, hogy mindkét oldalból kivonunk 68 krumplit:

$$4\cdot {{\Delta t}\over {\mathrm{h}}}=30\ 000$$

Ebből már csak ki kell rendeznünk az ismeretlent:

$${{\Delta t}\over {\mathrm{h}}}=7500$$

$$\Delta t=7500\ \mathrm{h}=312,5\ \mathrm{nap}=0,85\ \mathrm{év}$$