Gyorskeresés



Egy $m$ tömegű testet egy elektromos csörlő állandó $v$ sebességgel húz fölfelé egy lejtőn.

(Adatok: \(m=10\ \mathrm{kg}\), sebessége \(\displaystyle v=3\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\), a lejtő és a test közötti súrlódási együttható \(\mu=0,4\), a lejtő hajlásszöge \(\alpha=30{}^\circ\) és \(\displaystyle g=10\ \mathrm{\frac {m}{\ s^2}}\).)

a)  Mekkora a csörlő által felvett elektromos teljesítmény, ha motorjának hatásfoka \(\eta=0,6\)? 

$P_{elektromos}=423\ \mathrm{W}$

Adatok:

\(m=10\ \mathrm{kg}\)

\(\displaystyle v=3\ \mathrm{\frac{m}{s}}\)

\(\mu=0,4\)

\(\alpha=30{}^\circ\)

\(\eta=0,6\)

\(h=10\ \mathrm{m}\)

\(\displaystyle g=10\ \mathrm{\frac {m}{\ s^2}}\)
 

A testre ható erők egyensúlyának felírása:

1 pont

(Megfelelő ábra is elfogadható.)

Az erők felírása és a húzóerő kiszámítása:

1 + 1 pont

\[F_{h\small \textit{ú}\normalsize z\small \textit{ó}}=m\cdot g\cdot \sin{{\alpha}} +\mu\cdot m\cdot g\cdot \cos{{\alpha}}\]

\[F_{h\small \textit{ú}\normalsize z\small \textit{ó}}=84,6\ \mathrm{N}\]

A csörlő által végzett hasznos teljesítmény felírása:

1 pont

\[P_h=F_{h\small \textit{ú}\normalsize z\small \textit{ó}}\cdot v\]

Az elektromos teljesítmény felírása és kiszámítása:

1+1 pont

\[\eta\cdot P_{elektromos}=P_h\]

\[P_{elektromos}=423\ \mathrm{W}\]

b)  Leállás után a vonóhorog kiakad, és a test kezdősebesség nélkül \(h=10\ \mathrm{m}\) magasból visszacsúszik. Mennyi idő alatt ér vissza a lejtő aljára?

$t=5,1\ \mathrm{s}$

A Newton-egyenlet felírása a testre:

1 pont

Az erők felírása és a gyorsulás kiszámítása:

1 + 1 pont

\[m\cdot a=m\cdot g\cdot \sin{{\alpha}}-\mu\cdot m\cdot g\cdot \cos{{\alpha}}\]

\[a=1,54\ \mathrm{\frac {m}{\ s^2}}\]

A lejtő aljáig megtett út felírása, a lecsúszáshoz szükséges idő felírása és kiszámítása:

1 + 1 + 1 pont 

\[t=\sqrt {\frac {2\cdot s}{a}}\]

\[t=\sqrt {\frac {2\cdot h}{a\cdot \sin{{\alpha}}}}=5,1\ \mathrm{s}\]

Összesen:  12 pont