Gyorskeresés

Az elektromos vezetékek elsőszámú anyaga a réz, de ennek elektromos vezetőképessége már nagyon kis mennyiségű szennyezésektől jelentősen romlik, ezért vezetékanyaghoz nagy tisztaságú, 99,99%-os rézre van szükség. Ezt elektrolízissel állítják elő: kénsavas réz-szulfát oldatba lógatnak felváltva kisebb és nagy tisztaságú rézlemezeket. A kisebb tisztaságú rézlemezekre kapcsolják az áramforrás pozitív pólusát (vagyis ők lesznek az elktrolízisben az anódok), melynek felületén a pozitív potenciál minden rézatomról "leszed" két-két elektront, amik \(\mathrm{Cu^{2+}}\) ionként az oldatba kerülnek. Az áramforrás negatív kivezetését a nagy tisztaságú rézlemezekre kapcsolják (ők lesznek a katódok), amik felületén az oldatban úszkáló rézionokat az áramforrásból jövő elektronok semlegesítik, a semlegessé váló rézionok pedig fémes állapotban kiválnak a lemezen ("ránőnek"). Az elektródák felületén a tipikus áramsűrűség \(\displaystyle 400\ \mathrm{\frac{A}{m^2}}\), a tipikus feszültség $0,25\ \mathrm{V}$. Egy ciklusban az elektródalemezek 25 napon át vannak a kádban, mely során éjjel-nappal folyik az áram.

Vannak, akik mindezt nem kicsiben nyomják:

1.  Mennyi réz válik ki fél óra alatt, ha az üzemben használt teljes áramerősség $30\ \mathrm{kA}$? A réz moláris tömege \(\displaystyle M_{\mathrm{Cu}}=63,55\mathrm{\frac{g}{mol}}\).

\(m\approx 17,78\ \mathrm{kg}\)

 1. megoldás (sok, kis logikus lépéssel) 

Számítsuk ki, mennyi töltés fog rézionokat semlegesíteni a vizsgált folyamatban! Az áthaladt töltés az áramerősség

\[I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}\]

alapján:

\[\Delta Q=I\cdot \Delta t\]

Az adatokat beírva:

\[\Delta Q=30\ \mathrm{kA}\cdot 0,5\ \mathrm{h}\]

\[\Delta Q=30\ 000\ \mathrm{A}\cdot 0,5\cdot 3600\ \mathrm{s}\]

\[\Delta Q=5,4\cdot 10^7\ \mathrm{C}\]

Ez hány elektront jelent? Tudjuk, hogy az elektron töltésének nagysága az elemi töltés:

\[e=1,6\cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}\]

Hányszor van ez meg a folyamatban áthaladt \(\Delta Q\) tötésben?

\[\frac{\Delta Q}{e}=\frac{5,4\cdot 10^7\ \mathrm{C}}{1,6\cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}}=3,375\cdot 10^{26}\]

Mindegyik \(\mathrm{Cu^{2+}}\) rézion semlegesítéséhez (kiválasztásához) két elektron szükséges, így a fenti szám fele lesz a kiváló rézatomok száma:

\[N=\frac{3,375\cdot 10^{26}}{2}\]

\[N=1,6875\cdot 10^{26}\]

Ez hány mol rézatomot jelent?

\[n=\frac{N}{N_{\mathrm{A}}}\]

\[n=\frac{1,6875\cdot 10^{26}}{6,022\cdot 10^{23}}\]

\[n=280,22\ \mathrm{mol}\]

Ebből a réz moláris tömegével kiszámíthatjuk a kiváló réz tömegét:

\(\displaystyle M_{\mathrm{Cu}}=63,55\mathrm{\frac{g}{mol}}\)

\[m=n\cdot M\]

\[m=280,2\ \mathrm{mol}\cdot 63,55\ \mathrm{\frac{g}{mol}}\]

\[m=17\ 807\ \mathrm{g}\]

\[m=17,8\ \mathrm{kg}\]

 

 2. megoldás (képletvadászattal) 

A Faraday-féle elektrolízis törvény szerint a kiváló tömeg:

\[m=\frac{I\cdot \Delta t\cdot M}{z\cdot F}\]

ahol

\(z=2\) (a \(\mathrm{Cu^{2+}}\) rézion kétszeres töltése miatt)

\(\displaystyle F=96\ 485\ \mathrm{\frac{C}{mol}}\) (a Faraday-állandó)

\(\displaystyle M_{\mathrm{Cu}}=0,06355\mathrm{\frac{kg}{mol}}\) (a réz moláris tömege SI-egységbe átváltva)

\(I=30\ 000\ \mathrm{A}\) (az áramerősség SI-egységbe átváltva)

\(\Delta t=0,5\ \mathrm{h}=1800\ \mathrm{s}\) (az eltelt idő SI-egységbe átváltva)

Az adatokat SI-egységekben beírva:

\[m=\frac{30\ 000\cdot 1800\cdot 0,06355}{2\cdot 96\ 485}\]

\[m=17,78\ \mathrm{kg}\]

2.  Hány $\mathrm{amper}$ áramerősségre van szükség, ha azt szeretnénk, hogy ciklusonként $50\ \mathrm{tonna}$ rezet termeljünk?

\(I=70\ 290\ \mathrm{A}\)

Használjuk a Faraday-féle elektrolízis törvényt:

\[m=\frac{I\cdot \Delta t\cdot M}{z\cdot F}\]

Most viszont:

\(m=50\ \mathrm{tonna}=50\ 000\ \mathrm{kg}\) (a kiváló réz tömege)

\(\Delta t=25\ \mathrm{nap}=25\cdot 24\cdot 3600\ \mathrm{s}=2,16\cdot 10^6\ \mathrm{s}\)

\(I=?\)

a többi tényező pedig változatlan. Mindent SI-egységben beírva:

\[50\ 000=\frac{I\cdot 2,16\cdot 10^6\cdot 0,06355}{2\cdot 96485}\]

\[I=70\ 290\ \mathrm{A}\]

3.  Hány $\mathrm{m^2}$-nyi katódlemezre van szükség a 2. kérdésben szereplő eset megvalósításához?

\(A=87,86\ \mathrm{m^2}\)

Az esethez \(I=17\ 290\ \mathrm{A}\) áramerősséget kell folyatnunk, és tudjuk, hogy az áramsűrűség \(j=\displaystyle 400\ \mathrm{\frac{A}{m^2}}\), ami az egységnyi \(A\) felületre jutó áramerősség:

\[j=\frac{I}{A}\]

Az adatokat beírva:

\[400\ \mathrm{\frac{A}{m^2}}=\frac{70\ 290\ \mathrm{A}}{A}\]

\[A=175,7\ \mathrm{m^2}\]

De mivel az elektrolizáló kádba belemerülő rézlemeznek két oldala van, és mindkettő felületen zajlik a rézkiválás, ezért a katódlemezből elég a kapott értéknek a fele területű, vagyis:

\[A=87,86\ \mathrm{m^2}\]

4.  Hány $\mathrm{kWh}$ villamosenergia fogyasztás kell $1\ \mathrm{kg}$ réz efféle elektrolízises megtisztításához? Hány Ft-ba kerül egy kilogramm réz megtisztítása, ha a villamosenergia egységára RezsiSzilárdnak hála csupán \(\displaystyle 40\ \mathrm{\frac{Ft}{kWh}}\)?

\(\displaystyle \varepsilon=0,021\ \mathrm{\frac{kWh}{kg}}\)

\(\displaystyle K=0,84\ \mathrm{\frac{Ft}{kg}}\)

Az áram átfolyatásához szükséges teljesítmény:

\[P=U\cdot I\]

A szükséges energiabefektetés pedig, a teljesítmény

\[P=\frac{\Delta E}{\Delta t}\]

definíciója alapján:

\[\Delta E=P\cdot \Delta t\]

vagyis:

\[\Delta E=U\cdot I\cdot \Delta t\]

Írjuk be az adatainkat (mindent SI-egységben), méghozzá az 1. kérdésben szereplő eset alapján:

\(U=0,25\ \mathrm{V}\)

\(I=30\ 000\ \mathrm{A}\)

\(\Delta t=0,5\ \mathrm{h}=1800\ \mathrm{s}\)

\[\Delta E=U\cdot I\cdot \Delta t\]

\[\Delta E=0,25\cdot 30\ 000\cdot 1800\]

\[\Delta E=1\ 350\ 000\ \mathrm{J}\]

A villamosenergia egységára miatt ezt célszerű átváltani \(\mathrm{kWh}\) egységbe. Tudjuk, hogy \(1\ \mathrm{kWh}=3\ 600\ 000\ \mathrm{J}\), ez alapján:

\[\Delta E=\frac{1\ 350\ 000}{3\ 600\ 000}\ \mathrm{kWh}\]

\[\Delta E=0,375\ \mathrm{kWh}\]

Ezzel \(m=17,8\ \mathrm{kg}\) rezet választhatunk ki, vagyis egy kilogramm réz kiválasztásához szükséges villamosenergia:

\[\varepsilon=\frac{\Delta E}{m}\]

\[\varepsilon=\frac{0,375\ \mathrm{kWh}}{17,8\ \mathrm{kg}}\]

\[\varepsilon=0,021\ \mathrm{\frac{kWh}{kg}}\]

Mivel minden egyes kilowattóra 40 Ft-ba kerül, ezért az egy kilogramm réz finomításának (fajlagos) villamosenergia-költsége:

\[K=0,84\ \mathrm{\frac{Ft}{kg}}\]