Az SI mértékegységrendszerben a távolságokat méterben mérjük, például a közutak szélén sorakozó fehér műanyag ún. vezetőoszlopok 50 méterenként követik egymást. A csillagászatban azonban a méter túl pici egység. Az alábbi feladatok a csillagászati távolságegységekkel foglalkoznak.
1. Definiáld a Csillagászati Egység $\mathrm{(CsE)}$, a parszek és a fényév fogalmakat! Add meg az értéküket más egységben!
Csillagászati egység $\mathrm{(CsE; AU}$ ‑ $\mathrm{astronomical\ unit)}$: a Nap és a Föld átlagos távolsága.
$1\ \mathrm{CsE\approx}\ 150$ millió $\mathrm{km}$.
$\mathrm{Parszek\ (pc\ }$‑$\ \mathrm{parsec)}$: az a távolság, amilyen messziről a Nap és a Föld átlagos távolsága $(1\ \mathrm{CsE)}$ hosszú szakasz mindössze $1''$ szög alatt látszik. Másképp fogalmazva ha egy, a Naprendszertől $1\ \mathrm{pc}$ távolságban lévő távcső képének közepén lenne a Nap, akkor 1 szögmásodperccel kellene elfordítani a távcsövet, hogy a Föld kerüljön a távcső képének közepébe (feltéve hogy távcsövet a Nappal összeköző szakasz pont merőleges a Napot a Földdel összekötő szakaszra, vagyis a Föld pont úgy áll, hogy az átlagos távolságára látszódjon a Nap mellett). Az 1 szögmásodperc nagyon kis szöget jelent: $1'' = \displaystyle \frac{1}{3600}\ \mathrm{fok}$, kb. egy $5\ \mathrm{Ft}$‑os pénzérme két szélső pontja $4\ \mathrm{km}$ távolságból ekkora szög alatt látszik, tehát ha egy lézerrel $4\ \mathrm{km}$‑ról rávilávítunk egy $5\ \mathrm{Ft}$‑os érme egyik szélére, akkor a lézert 1 szögmásodperccel elfordítva a lézer a pénzérme másik szélére fog világítani). Vagy ha egy 1 méter sugarú kört rajzolunk, akkor a kör középpontjából nézve a köríven két pont akkor látszik $1''$ alatt, ha mindössze 5 ezredmilliméterre vannak egymástól.
\(1\ \mathrm{pc}=206\ 265\ \mathrm{CsE}=3,26\) fényév
Fényév: a vákuumban terjedő fény 1 év alatt befutott távolsága.
$1$ fényév $=63\ 240\ \mathrm{CsE}=0,3066\ \mathrm{pc}$
2. Melyik nagyobb, a parszek vagy a fényév?
A parszek a nagyobb, mert
\(1\ \mathrm{pc}=3,26\) fényév
3. A Naprendszerhez legközelebbi csillag a Proxima Centauri jelenleg 4,2 fényévre van tőlünk. Mekkora ez a távolság parszek \(\mathrm{(pc)}\) illetve csillagászati egység $\mathrm{(CsE; AU)}$ mértékegységben?
\(1,288\ \mathrm{pc}\) illetve \(265\ 670\ \mathrm{CsE}\)
A Proxima Centauri távolságát jelöljük $d_{Prox}$ :
\[d_{Prox}=4,2\ \mathrm{fényév}\]
Tudjuk, hogy:
\[1\ pc=3,26\ \mathrm{fényév}\]
Tekintsük a két egyenletet aránypárnak! Ez alapján:
\[\frac{d_{Prox}}{1\ \mathrm{pc}}=\frac{4,2\ \mathrm{fényév}}{3,26\ \mathrm{fényév}}\]
Egyszerűsítsünk:
\[\frac{d_{Prox}}{1\ \mathrm{pc}}=\frac{4,2}{3,26}\]
Rendezve az egyenletet:
\[d_{Prox}=1,288\ \mathrm{pc}\]
Tudjuk azt is, hogy
\[1\ pc=206\ 265\ \mathrm{CsE}\]
Tekintsünk erre és az előző egyenletre, mint aránypárra:
\[1\ \mathrm{pc}=206\ 265\ \mathrm{CsE}\]
\[1,288\ \mathrm{pc}=d_{Prox}\]
Írjuk fel az aránypárt:
\[\frac{d_{Prox}}{206\ 265\ \mathrm{CsE}}=\frac{1,288\ \mathrm{pc}}{1\ \mathrm{pc}}\]
\[d_{Prox}=265\ 670\ \mathrm{CsE}\]
Tehát a legközelebbi csillag több mint negyedmilliószor olyan messze van tőlünk, mint a Nap.
4. A hozzánk legközelebbi extragalaxis (a mi galaxisunkon, azaz a Tejútrendaszeren kívüli galaxis) az Androméda‑galaxis (régebbi, téves nevén Androméda‑köd). Távolsága tőlünk \(780\ \mathrm{kpc}\ \mathrm{(kiloparsec)}\). Mennyi ez a távolság fényév egységben?
\(780\ \mathrm{kpc}=2\ 542\ 800\) fényév
Az Androméda‑galaxis távolságát jelöljük $d_{Andr}$ kifejezéssel!
\[d_{Andr}=780\ \mathrm{kpc}=780\ 000\ \mathrm{pc}\]
Tudjuk, hogy:
\[1\ pc=3,26\ \mathrm{fényév}\]
Írjunk fel ebből aránypárt:
\[d_{Andr}=780\ 000\ \mathrm{pc}\]
\[3,26\ \mathrm{fényév}=1\ \mathrm{pc}\]
Az ismeretlent kirendezve:
\[d_{Andr}=\frac{780\ 000\ \mathrm{pc}\cdot 3,26\ \mathrm{fényév}}{1\ \mathrm{pc}}\]
\[d_{Andr}=2\ 542\ 800\ \mathrm{fényév}\]
Tehát a távcsőben az Androméda‑galaxisnak a 2,5 millió évvel ezelőtti állapotát látjuk jelenleg.
5. A Plútó törpebolygó a Nap körüli keringése során akár $7,376$ milliárd $\mathrm{km}$‑re is eltávolodhat a Naptól. Hányszor messzebb van ilyenkor a Naptól, mint a Föld-Nap átlagos távolsága?
\(49,17\ \mathrm{CsE}\)
A Plútó legnagyobb távolságát jelöljük $d_{Pl}$ kifejezéssel!
\[d_{Pl}=7,376\ \mathrm{milliárd\ km}\]
\[d_{Pl}=7\ 376\ \mathrm{millió\ km}\]
A Föld‑Nap átlagos távolság, amit csillagászati egységnek is hívunk:
\[1\ \mathrm{CsE}=150\ \mathrm{millió\ km}\]
Tekintsük a két egyenletre aránypárként! Fejezzük ki az ismeretlent keresztbeszorzással:
\[d_{Pl}=\frac{\mathrm{1\ CsE\cdot 7\ 376\ millió\ km}}{\mathrm{150\ millió\ km}}\]
\[d_{Pl}=49,17\ \mathrm{CsE}\]
Tehát a Plútó majdnem 50‑szer messzebb van a Naptól a pályája legtávolabbi pontján, mint a Föld átlagos távolsága a Naptól.