Az SI mértékegységrendszerben a távolságokat méterben mérjük, például a közutak szélén sorakozó fehér műanyag ún. vezetőoszlopok 50 méterenként követik egymást. A csillagászatban azonban a méter túl pici egység. Az alábbi feladatok a csillagászati távolságegységekkel foglalkoznak.
1. Definiáld a Csillagászati Egység (CsE), a parszek és a fényév fogalmakat! Add meg az értéküket más egységben!
Csillagászati egység (CsE; AU - astronomical unit): a Nap és a Föld átlagos távolsága.
\(1\ CsE\approx 150\ millió\ km\).
Parszek (pc - parsec): az a távolság, amilyen messziről a Nap és a Föld átlagos távolsága (1 CsE) hosszú szakasz mindössze 1" szög alatt látszik. Másképp fogalmazva ha egy, a Naprendszertől 1 pc távolságban lévő távcső képének közepén lenne a Nap, akkor 1 szögmásodperccel kellene elfordítani a távcsövet, hogy a Föld kerüljön a távcső képének közepébe (feltéve hogy távcsövet a Nappal összeköző szakasz pont merőleges a Napot a Földdel összekötő szakaszra, vagyis a Föld pont úgy áll, hogy az átlagos távolságára látszódjon a Nap mellett). Az 1 szögmásodperc nagyon kis szöget jelent: 1" = 1/3600 fok, kb. egy 5 Ft-os pénzérme két szélső pontja 4 km távolságból ekkora szög alatt látszik, tehát ha egy lézerrel 4 km-ról rávilávítunk egy 5 Ft-os érme egyik szélére, akkor a lézert 1 szögmásodperccel elfordítva a lézer a pénzérme másik szélére fog világítani). Vagy ha egy 1 méter sugarú kört rajzolunk, akkor a kör középpontjából nézve a köríven két pont akkor látszik 1" alatt, ha mindössze 5 ezredmilliméterre vannak egymástól.
\(1\ pc=206\ 265\ CsE=3,26\ fényév\)
Fényév: a vákuumban terjedő fény 1 év alatt befutott távolsága.
\(1\ fényév=63\ 240\ CsE=0,3066\ pc\)
2. Melyik nagyobb, a parszek vagy a fényév?
A parszek a nagyobb, mert
\(1\ pc=3,26\ fényév\)
3. A Naprendszerhez legközelebbi csillag a Proxima Centauri jelenleg \(4,2\ fényév\)-re van tőlünk. Mekkora ez a távolság parszek \((pc)\) illetve csillagászati egység \((CsE;AU)\) mértékegységben?
\(1,288\ pc\) illetve \(265\ 670\ CsE\)
A Proxima Centauri távolságát jelöljük $d_{Prox}$ :
\[d_{Prox}=4,2\ fényév\]
Tudjuk, hogy:
\[1\ pc=3,26\ fényév\]
Tekintsük a két egyenletet aránypárnak! Ez alapján:
\[\frac{d_{Prox}}{1\ pc}=\frac{4,2\ fényév}{3,26\ fényév}\]
Egyszerűsítsünk:
\[\frac{d_{Prox}}{1\ pc}=\frac{4,2}{3,26}\]
Rendezve az egyenletet:
\[d_{Prox}=1,288\ pc\]
Tudjuk azt is, hogy
\[1\ pc=206.265\ CsE\]
Tekintsünk erre és az előző egyenletre, mint aránypárra:
\[1\ pc=206.265\ CsE\]
\[1,288\ pc=d_{Prox}\]
Írjuk fel az aránypárt:
\[\frac{d_{Prox}}{206.265\ CsE}=\frac{1,288\ pc}{1\ pc}\]
\[d_{Prox}=265.670\ CsE\]
Tehát a legközelebbi csillag több mint negyedmilliószor olyan messze van tőlünk, mint a Nap.
4. A hozzánk legközelebbi extragalaxis (a mi galaxisunkon, azaz a Tejútrendaszeren kívüli galaxis) az Androméda-galaxis (régebbi, téves nevén Androméda-köd). Távolsága tőlünk \(780\ kpc\) (kiloparsec). Mennyi ez a távolság fényév egységben?
\(780\ kpc=2\ 542\ 800\ fényév\)
Az Androméda-galaxis távolságát jelöljük $d_{Andr}$ kifejezéssel!
\[d_{Andr}=780\ kpc=780.000\ pc\]
Tudjuk, hogy:
\[1\ pc=3,26\ fényév\]
Írjunk fel ebből aránypárt:
\[d_{Andr}=780.000\ pc\]
\[3,26\ fényév=1\ pc\]
Az ismeretlent kirendezve:
\[d_{Andr}=\frac{780.000\ pc\cdot 3,26\ fényév}{1\ pc}\]
\[d_{Andr}=2.542.800\ fényév\]
Tehát a távcsőben az Androméda-galaxisnak a 2,5 millió évvel ezelőtti állapotát látjuk jelenleg.
5. A Plútó törpebolygó a Nap körüli keringése során akár \(7,376\ milliárd\) km-re is eltávolodhat a Naptól. Hányszor messzebb van ilyenkor a Naptól, mint a Föld-Nap átlagos távolsága?
\(49,17\ CsE\)
A Plútó legnagyobb távolságát jelöljük $d_{Pl}$ kifejezéssel!
\[d_{Pl}=7,376\ milliárd\ km\]
\[d_{Pl}=7.376\ millió\ km\]
A Föld-Nap átlagos távolság, amit csillagászati egységnek is hívunk:
\[1\ CsE=150\ millió\ km\]
Tekintsük a két egyenletre aránypárként! Fejezzük ki az ismeretlent keresztbeszorzással:
\[d_{Pl}=\frac{1\ CsE\cdot 7.376\ millió\ km}{150\ millió\ km}\]
\[d_{Pl}=49,17\ CsE\]
Tehát a Plútó majdnem 50-szer messzebb van a Naptól a pályája legtávolabbi pontján, mint a Föld átlagos távolsága a Naptól.