Gyorskeresés

A képen egy F‑16 vadászgép hajtúművét tesztelik. A sugárhajtúművek hőerőgépek, melyek az üzemanyag elégetése során felszabaduló "hőt" (pontosabban belső energiát, azaz a részecskék rendezetlen irányú mozgási energiáját) alakítják a repülőgép rendezett (minden részecskére nézve egyirányú) mozgási energiájává. Az égéstermék gázmolekulái hátrafelé távoznak nagy sebességgel (kb. \(\displaystyle 2000\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑val), ehhez a hajtóműben fel kellett gyorsítani őket; a felgyorsításuk során a visszamaradó részekre a kiáramló gázmolekulák reakcióerőt fejtenek ki, ezzel pedig megszületik a repülőgépet hajtó tolóerő (thrust).

Az alábbi grafikonok egy‑egy, bezárt, kétatomos ideális gázzal történő folyamatot mutatnak.

1.  Számold ki az alábbi munkavégzéseket!

  A → B B → A
$W^{\textit{gázon}}$ $-2800\ J$ $2800\ J$
$W^{\textit{gáz által}}$ $2800\ J$ $-2800\ J$

1.  Számold ki az alábbi munkavégzéseket!

  A → B B → A
Wgázon $-2800\ \mathrm{J}$ $2800\ \mathrm{J}$
Wgáz által $2800\ \mathrm{J}$ $-2800\ \mathrm{J}$

A gázon végzett munka egy olyan szakaszon, ahol a nyomás állandónak vehető:

\[W^{\textit{gázon}}=-p\cdot \Delta V\]

A gáz által végzett munka pedig:

\[W^{\textit{gáz által}}=p\cdot \Delta V\]

Tehát a kétféle (nézőpontú) munka csak előjelben különbözik.

A változásokat mindig úgy számoljuk, hogy a végső értékből kivonjuk a kezdeti értéket. Ezért a térfogatváltozások:

\[{\Delta V}_{A\to B}=V_B-V_A\]

\[{\Delta V}_{B\to A}=V_A-V_B=-\left(V_B-V_A\right)\]

\[{\Delta V}_{A\to B}=-{\Delta V}_{B\to A}\]

Tehát a különféle irányú folyamatokban a térfogatváltozások is csak előjelben különböznek. Ezért mindig elég lesz kiszámolni egyetlen munkavégzést, és a másik 3 munka már legfeljebb csak előjelben fog ettől különbözni. Számítsuk ki mindig a gázon végzett munkát, méghozzá az A$\mathrm{\to}$B folyamatban:

\[W^{\textit{gázon}}_{A\to B}\]

Most izobár folyamatunk van, így a nyomás végig állandó, ezért a munka:

\[W^{\textit{gázon}}_{A\to B}=-p\cdot \Delta V\]

\[W^{\textit{gázon}}_{A\to B}=-p\cdot \left(V_B-V_A\right)\]

ami grafikusan úgy látható, ha a \(p \thinspace \unicode{x2013} \thinspace V\) diagramon ábrázoljuk a folyamatot, akkor a függvényének a görbe alatti előjeles területe:

Írjuk be az adatainkat:

\[W^{\textit{gázon}}_{A\to B}=-200\ \mathrm{kPa}\cdot \left(18\ \mathrm{{dm}^3}-4\ \mathrm{{dm}^3}\right)\]

\[W^{\textit{gázon}}_{A\to B}=-200\ 000\ \mathrm{Pa}\cdot 14\ \mathrm{{dm}^3}\]

\[W^{\textit{gázon}}_{A\to B}=-200\ 000\ \mathrm{Pa}\cdot 1,4\cdot {10}^{-3}\ \mathrm{m^3}\]

\[W^{\textit{gázon}}_{A\to B}=-2\cdot {10}^5\ \mathrm{Pa}\cdot 1,4\cdot {10}^{-2}\ \mathrm{m^3}\]

\[W^{\textit{gázon}}_{A\to B}=-2,8\cdot {10}^3\ \mathrm{J}\]

\[W^{\textit{gázon}}_{A\to B}=-2800\ \mathrm{J}\]

Ha ehhez képest "csak egy dolgot változtatunk" (a munka nézőpontját vagy a folyamat irányát), akkor az eredmény előjelet vált:

\[W^{\textit{gáz által}}_{A\to B}=2800\ \mathrm{J}\]

\[W^{\textit{gázon}}_{B\to A}=2800\ \mathrm{J}\]

Ha pedig mindkettőt megváltoztatjuk, akkor a két előjelváltás kioltja egymást:

\[W^{\textit{gáz által}}_{B\to A}=-2800\ \mathrm{J}\]

2.  Számold ki az alábbi munkavégzéseket!

  A → B B → A
$W^{\textit{gázon}}$    
$W^{\textit{gáz által}}$    

2.  Számold ki az alábbi munkavégzéseket!

  A → B B → A
$W^{\textit{gázon}}$ $0$ $0$
$W^{\textit{gáz által}}$ $0$ $0$

Izokór folyamatban a térfogat állandó, ezért a $\Delta V$ térfogatváltozás mindvégig nulla. Ezért bármely kis szakaszát is vesszük a folyamatnak, azalatt a munka mindenképp nulla, hiszen a

\[W^{\textit{gázon}}=-p\cdot \Delta V\]

szorzatnak az egyik tényezője nulla.

3.  Számold ki az alábbi munkavégzéseket!

  A → B B → A
$W^{\textit{gázon}}$ $-2300\ J$ $2300\ J$
$W^{\textit{gáz által}}$ $2300\ J$ $-2300\ J$

 

3.  Számold ki az alábbi munkavégzéseket!

  A → B B → A
$W^{\textit{gázon}}$ $-2300\ \mathrm{J}$ $2300\ \mathrm{J}$
$W^{\textit{gáz által}}$ $2300\ \mathrm{J}$ $-2300\ \mathrm{J}$

A munka mindig a \(p \thinspace \unicode{x2013} \thinspace V\) diagramon a függvény görbéje alatti terület, amit a vízszintes tengellyel közrefog (bezár). A terület azonban mindig pozitív, míg a munka lehet negatív is. Ezért szokás úgy fogalmazni, hogy "a munka a \(p \thinspace \unicode{x2013} \thinspace V\) diagram alatti előjeles terület". A munka előjele a munka nézőpontjától (gázon vagy gáz által) és a $\Delta V$ térfogatváltozás előjelétől függ, ahogyan az az 1. kérdés levezetésében kitárgyaltuk.

Mostani esetünkben a bezárt terület egy trapéz:

A folyamat során változik a $p$ nyomás, ezért az állandó nyomású folyamatokra fennálló

\[W^{\textit{gázon}}=-p\cdot \Delta V\]

egyszerű összefüggést most egyetlen lépésben nem alkalmazható. De azt mondhatjuk, hogy a jelenlegi munkavégzés ugyanakkora, mintha a kezdeti és a végső nyomás átlagával történt volna a folyamat, hiszen ennek a "mindvégig az átlagos nyomással zajló" folyamatnak a görbe alatti területe ugyanakkora, mint a trapéz alakú terület:

(Ezt a trükköt, hogy a változó nyomást egy olyan átlagos nyomással helyettesítjük, ami ugyanakkora görbe alatti területet ad, ezt csak nagyon egyszerű függvényalakok esetén tudjuk bevetni. A mostani trapézunknál ez működik, mert a függvény egy egyenes szakasz volt, de mondjuk izoterm esetben már egy hiperbola, aminél a trükk már nem működik, csak az integrálszámítás. Ilyenkor az integrálszámításból levezetett képleteket használjuk, például izoterm és adiabatikus esetben.)

\[W^{\textit{gázon}}_{A\to B}=-\frac{170\ \mathrm{kPa}+60\ \mathrm{kPa}}{2}\cdot \left(25\ \mathrm{{dm}^3}-5\ \mathrm{{dm}^3}\right)\]

\[W^{\textit{gázon}}_{A\to B}=-\frac{230\ \mathrm{kPa}}{2}\cdot \left(20\ \mathrm{{dm}^3}\right)\]

\[W^{\textit{gázon}}_{A\to B}=-115.000\ \mathrm{Pa}\cdot \left(0,02\ \mathrm{m^3}\right)\]

\[W^{\textit{gázon}}_{A\to B}=-2300\ \mathrm{J}\]

Ha ehhez képest "csak egy dolgot változtatunk" (a munka nézőpontját vagy a folyamat irányát), akkor az eredmény előjelet vált:

\[W^{\textit{gáz által}}_{A\to B}=2300\ \mathrm{J}\]

\[W^{\textit{gázon}}_{B\to A}=2300\ \mathrm{J}\]

Ha pedig mindkettőt megváltoztatjuk, akkor a két előjelváltás kioltja egymást:

\[W^{\textit{gáz által}}_{B\to A}=-2300\ \mathrm{J}\]

4.  Számold ki az alábbi munkavégzéseket!

  A → B B → A
$W^{\textit{gázon}}$ $-1800\ J$ $1800\ J$
$W^{\textit{gáz által}}$ $1800\ J$ $-1800\ J$

 

4.  Számold ki az alábbi munkavégzéseket!

  A → B B → A
$W^{\textit{gázon}}$ $-1800\ \mathrm{J}$ $1800\ \mathrm{J}$
$W^{\textit{gáz által}}$ $1800\ \mathrm{J}$ $-1800\ \mathrm{J}$