Gyorskeresés

Gyorsulás görbevonalú pályán: a centripetális gyorsulás 7298

 A gyorsulás fogalma a hétköznapi életben 

Mostanáig gyorsulás alatt mindig azt értettük, hogy a test sebessége mennyivel növekedett vagy csökkent másodpercenként; az időegységre jutó sebességváltozásként definiáltuk a gyorsulást:

\[a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\]

Tehát eddig csak olyan gyorsulásokat néztünk, amiknél a test sebességének a nagysága változott. Például gondoljunk arra, amikor autóban ülünk, és álló helyzetből előrefelé felgyorsul az autó. Ekkor a hátunk nekinyomódik az ülésnek, de csak addig, amíg az autó gyorsul.

Amikor már állandó sebességgel megyünk (akármilyen gyorsan is száguldunk), olyankor az "ülésnek nyomódás" effektus már nincsen.

Nézzük, milyen irányú az eddigiekben előfordult "sebességnagyságot változtató" gyorsulás! Nézzük példának, amikor egy autó egyenes pályán \(10\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\) sebességről felgyorsul \(30\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\) sebességre!

Mivel a gyorsulás a sebességváltozás időegységre eső része, és az időnek nincs térbeli iránya, ezek miatt a gyorsulás iránya meg kell egyezzen a sebességváltozás irányával. Tisztázzuk a fenti, autós esetben, hogy milyen irányú a sebességváltozás! A változást mindig úgy kapjuk, hogy a végső értékből kivonjuk a kezdeti értéket:

\[\Delta\vec{v}={\vec{v}}_2-{\vec{v}}_1\]

vagy hogy ne kelljen a vektor kivonás bonyolultságával fáradnunk, ezért egy kis trükkel a nála könnyebb vektorösszeadással is felfoghatjuk a dolgot:

\[\Delta\vec{v}={\vec{v}}_2+\left(-{\vec{v}_1}\right)\]

Nem megleglepő módon a sebességváltozás vektora, és így a gyorsulás vektora is azon egyenes mentén áll, amelyen a sebességvektorok.

Lépjünk tovább arról az egyszerű esetről, hogy a sebességnek csak a nagysága változik! Gondoljunk arra a hétköznapi tapasztalatra, amikor egy járműben utazva állandó nagyságú sebességgel kanyarodunk (mondjuk egy autópálya vagy egy híd lehajtóján). Ilyenkor is hasonló élményünk lesz, mint elinduláskor: nekinyomódunk az oldalfalnak. Ebből arra következtethetünk, hogy talán ilyenkor is van valami gyorsulás, ha nem is előrefelé, hiszen nem a hátunkkal nyomódtunk neki az ülésnek, hanem oldalirányban.
 

 A gyorsulás árnyaltabb fogalma 

Kissé elméleti oldalról megközelítve: mivel a sebesség vektormennyiség (vagyis nemcsak nagysága van, hanem iránya is), ezért a sebességnek nemcsak a nagysága tud megváltozni, hanem az iránya is. Ha a test egyenes vonalú mozgást végez, akkor a sebesség iránya mindig párhuzamos a pálya egyenesével, vagyis a sebesség iránya nem tud változni (a test nem tud "elkanyarodni" a nyílegyenes pályán), legfeljebb a sebességvektorának irányítottsága tud változni ("előre" vagy "hátra" megy).

A sebesség iránya (a sebességvektor iránya) úgy tud megváltozni, hogy a test "elkanyarodik", vagyis a pályája nem egyenes, hanem valami görbület van benne. Görbevonalú pályán a gyorsulás milyen irányú? Ennek vizsgálatához először is tisztáznunk kell, hogy görbevonalú pályán a sebességvektor milyen irányú. Mivel a pálya azon térbeli pontok összessége, ahol a test a mozgása során tartózkodik, ezért a test "arra halad", amerre a pályagörbéje szomszédos pontjai találhatók. A matematika nyelvén ezt úgy fogalmazzuk, hogy a test pillanatnyi helyén meg kell húzni a görbevonalú pályához húzható érintő egyenest (vagyis azt az egyenest, aminek csupán egyetlen közös pontja van a pályagörbével), és ezen érintő egyenes mentén fog állni a sebességvektor. Az ábrán a pálya és az érintő egyetlen közös pontját sárga pötty jelzi:

 

 Egyenletes körmozgást végző test gyorsulása 

Nézzük a görbevonalú pályák közül a legegyszerűbbet, vagyis amikor a test körpályán mozog. Mivel minden szempontból a legegyszerűbb esetet nézzük elsőként, ezért a test sebessége legyen állandó (egyenletes). Ekkor a \(\vec{v}\) sebességének a nagysága ugyan sosem változik, viszont a sebességének iránya folyamatosan változik, ugyanis a sebesség mindig a pálya érintőjének irányába mutat:

Azt is észrevehetjük, hogy a sebességvektor mindig merőleges a test helyéhez húzott sugárra.

Ha van sebességváltozás (a sebességvektor irányának változása miatt), akkor ezt is felfoghatjuk gyorsulásnak, amit így definiáltunk:

\[a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\]

Tehát ha a "kanyarodás miatti gyorsulást" szeretnénk megvizsgálni, ahhoz tisztáznunk kéne, hogy milyen a \(\Delta v\) sebességváltozás, miközben a test kanyarodik. Nézzük meg ezt egy nagyon kis (rövid) időtartam alatt:

Nézzünk egy ennél is sokkal kisebb időtartamot:

Ahhoz, hogy a

\[\Delta \vec{v}={\vec{v}}_2-{\vec{v}}_1\]

sebességváltozás-vektort előállítsuk, a \({\vec{v}}_1\) és a \({\vec{v}}_2\) vektorokat közös kezdőpontba kell tolni, és a végpontjaikat összekötő vektor lesz a változás:

Ha látni túlságosan nem is látjuk, de talán "érezzük", hogy a sebességvektorok végpontjait összekötő kis zöld \(\Delta \vec{v}\) vektor a kör középpontja felé mutat. Vagyis ez egy centrum felé irányuló gyorsulást jelent, ami latinul centripetális. Tehát a görbevonalú pályán haladó test esetén a sebességvektor irányváltozása miatti gyorsulást centripetális gyorsulásnak hívjuk, jele: \(a_{\mathrm{cp}}\).

A centripetális a latin centrum (középpont) és a peto, petere ige (támad, irányul) szavakból eredeztethető, vagyis jelentése: centrum felé ható, centrum felé irányuló. A centripetális gyorsulást szokás még \(a_{\mathrm{n}}\) normális gyorsulásnak is hívni, mivel az iránya mindig a kör középpontja felé mutat, ami pedig mindig merőleges az érintőre, márpedig a matematikában a "normális" szó merőlegest jelent. A centripetális gyorsulás további elnevezése az \(a_{\mathrm{rad}}\) radiális gyorsulás, hiszen mindig a testtől a kör középpontjába húzható sugár irányába áll.

Mekkora a centripetális gyorsulás nagysága? Ehhez használjuk ki, hogy a \({\vec{v}}_1\) és a \({\vec{v}}_2\) sebességvektorok mindig merőlegesek a kezdőpontjukba húzott sugárra, emiatt amekkora \(\alpha\) szöggel fordult el az \(r\) sugár, ugyanekkora \(\Delta \varphi\) szöggel van elfordulva a \({\vec{v}}_2\) sebességvektor a \({\vec{v}}_1\) sebességvektorhoz képest:

És mivel a sebesség állandó, ezért a  \({\vec{v}}_1\) sebességvektor és a \({\vec{v}}_2\) sebességvektorok nagyságai azonosak, vagyis a \(\vec{v}\) sebességvektor igazából csak elfordult. A végpontja által bejárt ívhossz

\[i=r\cdot \Delta \varphi\]

közel akkora, mint a végpontjait összekötő \(\Delta v\) sebességváltozás. Ez alapján a sebességváltozást kiszámíthatjuk úgy, hogy a \(v\) sebesség játssza az elforduló \(r\) sugár szerepét, a \(\Delta v\) pedig az ívhossz szerepét:

\[\Delta v=v\cdot \Delta \varphi\]

Mivel mi most a centripetális gyorsulás nagyságát szeretnénk meghatározni, ezért felidézzük, hogy a gyorsulás mindig

\[a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\]

emiatt nekünk egy ilyen szerkezetű kifejezést kell előállítanunk. Ez nem lesz nehéz, mivel a kapott egyenlet bal oldalán \(\Delta v\) van, amit \(\Delta t\)-vel elosztva máris előáll a kívánt \(\displaystyle \frac{\Delta v}{\Delta t}\) kifejezés. Tehát mindkét oldalt osszuk el \(\Delta t\)-vel:

\[\Delta v=v\cdot \Delta \varphi\]

\[\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v\cdot \Delta \varphi}{\Delta t}\]

Így a bal oldalon a centripetális gyorsulás áll elő:

\[a_{\mathrm{cp}}=\frac{v\cdot \Delta \varphi}{\Delta t}\]

A jobb oldalon pedig vegyük észre, hogy

\[\frac{v\cdot \Delta \varphi}{\Delta t}=v\cdot \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}\]

ahol

\[\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}=\omega\]

vagyis a szögsebesség. Ezt felhasználva:

\[a_{\mathrm{cp}}=v\cdot \omega\]

Ezt még átalakíthatjuk a

\[v=r\cdot \omega\]

egyenlet segítségével:

\[a_{\mathrm{cp}}=v\cdot \omega=\left(r\cdot \omega\right)\cdot \omega=r\cdot {\omega}^2\]

illetve a

\[\omega =\frac{v}{r}\]

alapján

\[a_{\mathrm{cp}}=v\cdot \omega=v\cdot \frac{v}{r}=\frac{v^2}{r}\]

Összefoglalva, a centripetális gyorsulás mindig a körpálya középpontja felé mutat és a nagyága:

\[a_{\mathrm{cp}}=r\cdot {\omega}^2=\frac{v^2}{r}\]

Centripetális gyorsulás mindig fellép, amikor a test sebességvektorának iránya változik; még olyankor is, amikor a sebességvektor nagysága állandó.

Általános esetben azonban egyidejűleg változhat a sebességvektornak nagysága is, és az iránya is. A nagyság változását leíró gyorsulásról, az ún. kerületi (érintő, tangenciális) gyorsulásról a következő leckében lesz szó.