A hővezetés Fourier-féle törvénye

A hővezetés Fourier-féle törvénye

A hővezetés Fourier-féle törvénye 6158 Link

 A hővezetés Fourier-törvénye 

Vegyünk egy "egydimenziós testet", azaz egy $l$ hosszúságú, kicsi $A$ keresztmetszetű rudat, és tartsuk a két végét folyamatosan különböző hőmérsékleten, más szóval fenntartunk egy $\Delta T$ hőmérsékletkülönbséget (ehhez a melegebb véget folyamatosan fűteni, a hidegebb véget folyamatosan hűtenünk kell). A rúdon keresztül a hővezetés

$$\Phi=\frac{Q}{\Delta t}$$

hőárama (vagyis az egységnyi idő alatt hő formájában átáramlott $Q$ energia) a tapasztalat szerint egyenesen arányos a rúd $A$ keresztmetszetével és a hőáramot okozó $\Delta T$ hőmérséklet-különbséggel, továbbá fordítottan arányos lesz a rúd $l$ hosszával, ez a Fourier-féle hővezetési törvény (1822). Mindez egyenletben, ha az egyenes arányosság miatt fellépő arányossági tényezőt $\lambda $ betűvel jelöljük:

$${\Phi}=\lambda \cdot {{A\cdot \Delta T}\over {l}}$$

A $\lambda $ a rúd anyagára jellemző érték, amit fajlagos hővezetési tényezőnek (együtthatónak) nevezünk. A $\lambda $ jelentésének megvilágításához rendezzük ki az egyenletet a $\lambda $-ra:

$$\lambda ={{{\Phi}\cdot l}\over {A\cdot \Delta T}}$$

Az egyenlet alapján a $\lambda $ megmutatja a hőáram nagyságát, ha a rúd egységnyi hosszúságú (azaz $1\ \mathrm{méter}$), egységnyi keresztmetszetű (azaz $1\ \mathrm{m^2}$), és a fennálló hőmérséklet-különbség is egységnyi (azaz $1\ \mathrm{{}^\circ C}$). Tehát a $\lambda $ egy olyan anyagi jellemző, mely megmutatja, hogy ha egységnyi hosszúságú és keresztmetszetű rúd végei között egységnyi hőmérséklet-különbség van, akkor a hővezetés mekkora hőáramot hoz létre. (A gyakorlat számára ez az elrendezés hajmeresztő, hiszen egy $1\ \mathrm{méter}$ élhoszúságú tömör kocka két szemközti lapját kellene különböző hőmérsékleten tartani.)

Minél nagyobb a $\lambda $, annál jobban vezeti a hőt az anyag, a szigetelőanyagok $\lambda $-ja ezért kicsi.

A $\lambda $ mértékegysége a definíciós egyenletéből adódik:

$$\left[\lambda \right]={{\left[{\Phi}\right]\cdot \left[l\right]}\over {\left[A\right]\cdot \left[\Delta T\right]}}$$

$$\left[\lambda \right]={{\mathrm{W}\cdot \mathrm{m}}\over {\mathrm{m^2}\cdot \mathrm{K}}}$$

$$\left[\lambda \right]={{\mathrm{W}}\over {\mathrm{m}\cdot \mathrm{K}}}$$

Néhány anyag fajlagos hővezetési tényezője:

$$\lambda \ \left({{\mathrm{W}}\over {\mathrm{m}\cdot \mathrm{K}}}\right)$$

anyagfajta

 

szén nanocső 6000
gyémánt 2300
ezüst 430
arany 316
réz (vörös) 400
alumínium 237
vas 80
acélok

50

vasbeton 1,6
beton 1,3
üveg 1
tömör tégla 1
hagyományos vakolat 1
fa 0,2
pórusos tégla 0,2
épületszigetelő anyagok
(üveggyapot, kőzetgyapot, polisztirolhab)
0,03-0,05
fagyapot, habcement, pórusbeton, poliuretán hab 0,02

Vegyük észre, hogy a hétköznapi életben rendelkezésre álló anyagok hővezetés szempontjából kb. 4 nagyságrendet fednek át, vagyis a legjobb hővezetők kb. 10 000&x8209;szer jobban vezetik a hőt, mint a jó hőszigetelők. Külön érdekesség, hogy a legtöbb anyag esetében fennáll, hogy minél jobb elektromos vezető, annál jobb hővezető is egyben. A gyémánt ezen szabály alól durván kilóg, hiszen a legjobb elektromos szigetelő és egyszerre az egyik legjobb hővezető.

Ha egy állandó vastagságú homogénnek vehető réteg (pl. betonfal) két oldalán különböző a hőmérséklet (vagyis \(\Delta T\) hőmérséklet-különbség áll fenn), akkor a hővezetés miatt \(\Phi\) hőáram indul meg, és a hőmérséklet a két szél között lineárisan megy át:

Mennyi a $T\thinspace \unicode{x2013} \thinspace x$ (hőmérséklet-helykoordináta) függvény meredeksége? A meredekség mindig a függőleges tengelyen ábrázolt mennyiség változása osztva a vízszintes tengelyen ábrázolt mennyiség változásával, azaz általánosságban:

\[m=\frac{\Delta y}{\Delta x}\]

itt pedig mivel a \(T\) hőmérséklet változik az $x$ helykoordináta függvényében, ezért:

\[m=\frac{\Delta T}{\Delta x}\]

Be kellene helyettesítenünk a \(\Delta T\) hőmérséklet-változást. Ehhez nézzük a Fourier-féle lineáris hővezetési törvényt:

\[\mathit{\Phi}=\lambda \cdot \frac{A\cdot \Delta T}{l}\]

amiből a \(\Delta T\) hőmérséklet-változást kirendezve:

\[\Delta T=\frac{\mathit{\Phi}\cdot l}{\lambda \cdot A}\]

Ezt behelyettesítve a meredekségbe:

\[m=\frac{\displaystyle \frac{\mathit{\Phi}\cdot l}{\lambda \cdot A}}{l}\]

\[m=\frac{\mathit{\Phi}}{\lambda \cdot A}\]

Tehát a meredekség (hőmérséklet-gradiens) fordítottan arányos a \(\lambda\) hővezetési tényezővel. Tehát minél jobb hővezető egy anyag (minél nagyobb a \(\lambda\) értéke), annál kisebb benne a hőmérséklet-gradiens, vagyis annál "laposabb" benne a hőmérséklet függvény a hely szerint: