A Huygens-elv és a Huygens-Fresnel-elv

7441
 A Huygens-elv 

A holland matematikus, fizikus, csillagász Huygens által 1678-re kidolgozott hullámelmélet alapgondolata a következő:

A modell furcsasága, hogy ezek az elemi források nem teljesen gömbhullám források, hanem csak félig-meddig azok, ugyanis a közegben haladva hátrafelé (titokzatos módon) "nem indítanak" hullámokat, úgyhogy ezek meglehetősen intelligens, progresszív (mozgalmi) hullámforrások, mivel ösztönösen tudják, hogy merre van az előre. Viszont visszaverődéskor indítanak hátrafelé hullámokat...

Ez a nagyon egyszerű Huygens-elv önkényes, hiszen semmivel nem indokoltuk meg, hogy miért van így. De nagy érdeme, hogy képes számos hullámjelenséget megmagyarázni:

  • a hullám szétterjedését pontszerű hullámforrásból gömbhullámként
  • a síkhullámok egyenes vonalú terjedését homogén közegben
  • a síkhullámok létrejöttét pontszerű hullámforrástól távol
  • a hullámok visszaverődését (a visszaverődési törvényt)
  • a parabolatükör fókuszába helyezett gömbforrás hullámainak "párhuzamosítását"
  • a hullámok törését közeghatárhoz érve (a Sellius-Descartes-féle törési törvényt)
  • és Huygens-Fresnel-elvként továbbfejlesztve még az elhajlást és az interferenciát is (lásd később)

Ugyanakkor más hullámjelenségeket (mint például a polarizációt) már nem tudja értelmezni. Nézzük, hogyan magyarázhatók a Huygens-elvvel különféle hullámjelenségek!


 1. Gömbhullám szétterjedése a térben 

A Huygens-elv kivesézését kezdjük a legegyszerűbb esettel, amikor van egy pontszerű hullámforrásunk (S, source = forrás). Például egy éneklő rigó a faágon, aki (akinek hangszála) elhanyagolhatóan pici kiterjedésű a körülötte lévő, általa "beénekelt" térrészhez képest. A rigót elhagyó gömbhullám minden egyes pontja elemi gömhullámforrás, így az ő burkológörbéjüket kell megszerkesztenünk, ami mindig egy újabb gömbfelület lesz. Persze az ábránkon ennek a gömbfelületben csak a síkvetületét, azaz köröket rajzolunk :

Ugyanez a Khan Academy videóján:

Vagyis a gömbhullám gömbhullámként terjed tovább, terjed szét. Mivel a szétterjedés során a hullám energiája (teljesítménye) egyre nagyobb gömbfelületen oszlik el, ezért a forrástól távolodva egyre kisebb energia (teljesítmény) jut egy egységnyi felületre, vagyis a hullám erőssége, intenzitása gyengül, egyezően a tapasztalattal. Az intenzitás gyengülése a forrástól vett \(r\) távolság négyzetével fordítottan arányos, mivel a gömb felülete

\[A_{\mathrm{gömb}}=4\pi\cdot r^2\]

ezért az egységnyi felületre jutó teljesítmény, vagyis a teljesítménysrűség, azaz \(I\) intenzitás:

\[I=\frac{P}{A}\]

\[I=\frac{P}{4\pi\cdot r^2}\]


 2. Síkhullám továbbhaladása (terjedése előre) 

Nézzünk egy másik egyszerű esetet, amikor egy síkhullám halad. Hogyan fog továbbhaladni? Megint indítsunk gömbhullámokat a hullámtér minden pontjából, és azok burkológörbéjét szerkesszük meg!

Tehát a síkhullám síkhullámként halad (terjed) tovább, vagyis a terjedési irányban előrefelé egyenes vonalban terjed.

De hogyan keletkezik síkhullám, ha az elemi hullámforrások gömbhullámok? A Huygens-elv ezt is meg tudja magyarázni.


 3. Síkhullám keletkezése gömbhullámból 

Egy gömbhullám forrástól kellően távol (illetve a hullámtérnek csak egy kellően kicsi részét nézve) a gömbív már olyan nagy görbületi sugarú gömb, vagyis olyan kicsi görbületű, hogy az szinte már sík (közelítőleg sík). Ugyanis a \(g\) görbület, vagyis az alakzat eltérésének (elhajlásának) mértéke a (teljesen sima) síktól, az a gömb \(r\) sugarával fordítottan arányos:

\[g=\frac{1}{r}\]

Ez alapján minél nagyobb a gömb \(r\) sugara, annál kisebb a \(g\) görbülete, vagyis annál kisebb a gömb "görbülésének" eltérése a síktól, tehát annál inkább hasonló a síkhoz.

 4. A hullámok visszaverődése (reflexiója) sík felületről 

 
 

 5. A parabolatükör fókuszába helyezett gömbsugárzó hullámainak "párhuzamosítása" 

 
 

 6. A hullámok törése (refrakció) 

A Huygens-elv a hullámok törését is képes volt értelmezni az elemi gömbhullámokkal. Az alábbi ábra felső részén a hullám egy olyan közegben halad, ahol a \(c_1\) terjedési sebesség nagyobb, mint a kép alsó felén lévő közegben, ahol ennél kisebb \(c_2\) nagyságú. A fenti ferde vonalak a hullámfront terjedését, előre haladását mutatják mindig egy-egy újabb \(T\) periódusidő elteltével, ami alatt a hullám mindig \(s_1=c_1 \cdot T\) utat tesz meg. Alul, ahogy a hullámfront eléri az új közeget, ott kis, elemi gömbhullámok indulnak ki, de itt (az új közegben) már egy-egy \(T\) periódusidő alatt a fentinél kevesebb \(s_2=c_2 \cdot T\) utat tesznek meg, hiszen itt most lassabb a hullám terjedási sebessége. A kis, elemi gömbhullámok burkológörbéje kiadja az új hulámfrontot, ami az új közegben (az eredeti közegben láthatóhoz képest kevésbé meredek) piros egyenes:

Ugyanez a Khan Academy videóján:

 
 

 A Huygens-Fresnel-elv 

Fresnel kiegészítette (1818) a Huygens-elvet azzal, hogy nemcsak az elemi gömbhullámok hullámfrontját és annak terjedését nézte (mintha a hullám nagyon rövid, impulzusszerű lenne, hasonlóan egy rövid durranáshoz, csattanáshoz), hanem a kis, elemi hullámforrásokat folyamatosan "sugárzó"-nak tekintette, melyek állandóan változó fázisban vannak (például a tetőpontban, a legmélyebb ponjtban, vagy épp középen: