Gyorskeresés

Ideális gáz izokór és izobár fajhője, mólhője 7077

A mólhő azt mutatja meg, hogy egységnyi anyagmennyiség \((n=1\ \mathrm{mol})\) esetén egységnyi hőmérsékletváltozásához \((\Delta T=1\ \mathrm{K})\) mennyi $Q$ hőközlés szükséges:

\[c^{m}=\frac{Q}{n\cdot \Delta T}\]

(itt a felső indexben az $m$ betű arra utal, hogy mólhőről van szó, nem pedig fajhőről; ugyanis mindkettőt kis $c$ betűvel szokás jelölni, de úgy nem lehet őket egymástól megkülönböztetni)

Azonban gázok esetében a folyamat során lehet jelentősebb mennyiségű $W$ térfogati munkavégzés is (szemben a szilárd és folyékony anyagokkal, amik térfogata csak kicsit változik, így a $W=-p\cdot \Delta V$ térfogati munkavégzés elhanyagolható). Emiatt gázoknál a hőmennyiség (hőszükséglet) attól is függ, hogy milyen úton (milyen állapotokon keresztül) jut el a gáz a végállapotba. Ugyanis a hőtan I. főtétel szerint

\[\Delta U=Q^{\mathrm{gázzal}}+W^{\mathrm{gázon}}\]

A $W$ munkavégzést a $p\thinspace \unicode{x2013} \thinspace V$ diagramon a folyamat görbe alatti területe mutatja, ami ugyanazon kezdő- és végállapotok esetén is sokféle lehet.
 

Ideális gáz izokór hőközlése

Izokór (állandó térfogatú) folyamatban nincs \(\Delta V\) térfogatváltozás, így nincs $W=-p\cdot \Delta V$ munkavégzés

Márpedig ha nincs munkavégzés, akkor az I. főtétel utolsó tagja eltűnik:

\[\Delta U=Q^{\mathrm{gázzal}}\ (\mathrm{ha}\ V=\mathrm{áll.})\]

Vezessük le ez alapján, hogy izokór esetben mennyi az ideális gáz mólhője! Az ideális gázok belső energiája:

\[U=\frac{f}{2}nRT\]

Ha adott $n$ anyagmennyiségű ideális gáz hőmérséklete változik, akkor a belsőenergia‑változás:

\[\Delta U=\frac{f}{2}\cdot n\cdot R\cdot \Delta T\]

Izokóra esetben ez megegyezik a gázzal közölt hővel:

\[Q^{\mathrm{gázzal}}=\frac{f}{2}\cdot n\cdot R\cdot \Delta T\]
 

Ideális gáz izokór mólhője

A kapott hőközlést beírva a mólhő

\[c^m=\frac{Q}{n\cdot \Delta T}\]

definíciójába, és jelölve alsó indexben \(V\) betűvel, hogy itt izokór eset van:

\[c^m_V=\frac{\displaystyle \frac{f}{2}\cdot n\cdot R\cdot \Delta T}{n\cdot \Delta T}\]

\[c^m_V=\frac{f}{2}\cdot R\]
 

Ideális gáz izokór fajhője

A fajhő azt mutatja meg, hogy egységnyi tömegű \((m=1\ \mathrm{kg})\) anyag egységnyi hőmérsékletváltozásához \((\Delta T=1\ \mathrm{K})\) mennyi $Q$ hőközlés szükséges:

\[c=\frac{Q}{m\cdot \Delta T}\]

Az imént levezettük, hogy ideális gáz esetén a belsőenergia‑változás:

\[\Delta U=\frac{f}{2}\cdot n\cdot R\cdot \Delta T\]

A $Q$ hőközlés és a $\Delta U$ belsőenergia-változás között az I. főtétel teremt kapcsolatot, ami izokór esetben így egyszerűsödik:

\[\Delta U=Q^{\mathrm{gázzal}}\ (\mathrm{ha}\ V=\mathrm{áll.})\]

Az izokór fajhő ezek alapján:

\[c_V=\frac{\displaystyle \frac{f}{2}\cdot n\cdot R\cdot \Delta T}{m\cdot \Delta T}\]

\[c_V=\frac{f}{2}\cdot \frac{n}{m}\cdot R\]

Mi az a \(\displaystyle \frac{n}{m}\) mennyiség? Ehhez eszünkbe jut, hogy az $M$ moláris tömeg az egységnyi anyagmennyiségre jutó tömeget jelenti:

\[M=\frac{m}{n}\]

Ez alapján

\[\frac{n}{m}=\frac{1}{M}\]

Ez beírva:

\[c_V=\frac{f}{2}\cdot \frac{R}{M}\]
 

Ideális gáz izobár hőközlése 

Az izobár eset bonyolultabb, mint az izokór, hiszen ekkor már van \(W\) térfogatti (tágulási) munkavégzés is, de legalább ilyenkor a térfogati munka egyszerűen számítható:

\[W^{\mathrm{gázon}}=-p\cdot \Delta V\]

Ezt beírva az I. főtételbe:

\[\Delta U=Q^{\mathrm{gázzal}}-p\cdot \Delta V\]

\[Q^{\mathrm{gázzal}}=\Delta U+p\cdot \Delta V\]

\[Q^{\mathrm{gázzal}}=\frac{f}{2}\cdot n\cdot R\cdot \Delta T+p\cdot \Delta V\]

Az állapotegyenletben vegyük mindkét oldal megváltozását:

\[\Delta\left(pV\right)=\Delta\left(nRT\right)\]

\[p\cdot \Delta V+V\cdot \Delta p=n\cdot R\cdot \Delta T\]

Mivel most (izobár esetben) a nyomás állandó, ezért $\Delta p=0$, így

\[p\cdot \Delta V=nR\cdot \Delta T\]

Ezt beírva a főtételes egyenletbe:

\[Q^{\mathrm{gázzal}}=\frac{f}{2}\cdot n\cdot R\cdot \Delta T+p\cdot \Delta V\]

\[Q^{\mathrm{gázzal}}=\frac{f}{2}\cdot n\cdot R\cdot \Delta T+n\cdot R\cdot \Delta T\]

\[Q^{\mathrm{gázzal}}=\frac{f}{2}\cdot n\cdot R\cdot \Delta T+\frac{2}{2}\cdot n\cdot R\cdot \Delta T\]

\[Q^{\mathrm{gázzal}}=\frac{f+2}{2}\cdot n\cdot R\cdot \Delta T\]
 

Ideális gáz izobár mólhője

Az izobár mólhő ezek alapján:

\[c^m_p=\frac{Q}{n\cdot \Delta T}\]

\[c^m_p=\frac{\displaystyle \frac{f+2}{2}\cdot n\cdot R\cdot \Delta T}{n\cdot \Delta T}\]

\[c^m_p=\frac{f+2}{2}\cdot R\]
 

Ideális gáz izobár fajhője

A fajhő általános képletébe, miszerint

\[c=\frac{Q}{m\cdot \Delta T}\]

beírjuk az izobár hőközlésre az imént kapott kifejezést:

\[c_p=\frac{\displaystyle \frac{f+2}{2}\cdot n\cdot R\cdot \Delta T}{m\cdot \Delta T}\]

\[c_p=\frac{f+2}{2}\cdot \frac{n}{m}\cdot R\]

\[c_p=\frac{f+2}{2}\cdot \frac{R}{M}\]
 

A fajhő és a mólhő viszonya általában

A fajhő és a mólhő viszonyára azt látjuk, hogy a mólhő a fajhőnek $M$‑szerese. Ezt végig is gondolhatjuk:

Induljunk ki abból az egyszerű esetből, hogy egy képzeletbeli anyagnak az $M$ moláris tömege pont 1 egység:

\[M=1\]

Ekkor az anyagból $1\ \mathrm{kg}$‑os adagot véve az pont $1\ \mathrm{molnyi}$ mennyiséget jelent. Ugyanazt az adagot biztosan ugyanakkora hőközléssel lehet felmelegíteni, így ebben az $M=1$ esetben a fajhő és a mólhő ugyanakkora.

Mi a helyzet, ha egy anyag moláris tömege nagyobb, mint 1 egység?

\[M>1\]

Ez esetben melyik nagyobb, a fajhő vagy a mólhő?

Azt az adagot lehet nagyobb hőközlés révén felmelegíteni, amelyikben ,,több anyag van''. Most az $1\ \mathrm{kg}$‑nyi adagban van több anyag, vagy az $1\ \mathrm{molnyi}$ adagban? Az $M>1$ azt jelenti, hogy $1\ \mathrm{mol}$ anyag több, mint $1\ \mathrm{kg}$, így az $1\ \mathrm{mol}$‑os adagban több anyag van. Tehát $1\ \mathrm{mol}$ felmelegítése több hőt igényel, mint az $1\ \mathrm{kg}$ felmelegítése. Ez azt jelenti, hogy a mólhő nagyobb, mint a fajhő (ha $M>1$). Sőt, azt is mondhatjuk, hogy amekkora az $M$ értéke, pont annyiszor több anyag van $1\ \mathrm{molnyi}$ adagban, mint $1\ \mathrm{kg}$‑nyiban, így pont $M$‑szer több hő kell a felmelegítéshez. Vagyis a mólhő $M$‑szer nagyobb, mint a fajhő:

\[c^m=M\cdot c\]

Vagyis a mólhő tényleg mindig a fajhőnek a moláris tömegszerese.