Keringés különböző sugarú körpályákon

Keringés különböző sugarú körpályákon

Keringés különböző sugarú körpályákon 14128 Link

 Keringési (kerületi) sebesség 

A kozmikus sebességek tárgyalásakor levezettük, hogy egy égitest körüli centrális gravitációs mezőben körpályán keringő objektumos \(r\) pályasugara és \(v\) keringési (kerületi) sebessége között fennáll:

\[v=\sqrt{f\frac{M}{r}}\]

ahol \(f\) a gravitációs konstans, \(M\) a vonzócentrum tömege (a keringő test tömegétől pedig független a létrejövő mozgás). Ez alapján ha a keringés "messzebb" (nagyobb \(r\) sugarú körpályán) zajlik, akkor a gyökjel alatti tört nevezője nagyobb, amitől a tört kisebb lesz. Mivel a gyökfüggvény monoton növelvő, ezért a kisebb törtnek a négyzetgyöke is kisebb. Tehát a távolabb keringő objektumnak mindig kisebb a keringési sebessége.

 

 Szögsebesség 

Mi következik ebből a szögsebességekre? A \(v\) sebesség és az \(\omega\) szögsebeség között fennáll:

\[v=r\cdot \omega\]

Ezt beírva a fenti egyenletbe:

\[r\cdot \omega=\sqrt{f\frac{M}{r}}\]

\[\omega=\frac{1}{r}\sqrt{f\frac{M}{r}}\]

\[\omega=\sqrt{\frac{1}{r^2}}\cdot \sqrt{f\frac{M}{r}}\]

\[\omega=\sqrt{f\frac{M}{r^3}}=\sqrt{fM}\frac{1}{\sqrt{r^3}}\]

Nagyobb körpálya sugár esetén a nevezőben lévő \(r^3\) nagyobb, így a gyökjel alatti tört értéke ilyenkor kisebb. Mivel a négyzetgyökfüggvény monoton növekvő, ezért kisebb törtnek a négyzetgyöke is kisebb. Azt kaptuk, hogy a távolabb keringő objektumnak mindig kisebb a szögsebessége.
 

 Keringési idő (periódusidő) 

Az \(\omega\) szögsebesség és a \(T\) keringési idő (periódusidő) között fennáll:

\[T=\frac{2\pi}{\omega}\]

Vagyis a szögsebesség és a keringési idő fordított arányosak. A távolabb keringő testnek kisebb a szögsebessége, amihez nagyobb keringési idő tartozik. Tehát a távolabb keringő objektumnak mindig nagyobb a periódusideje. Például a Nap körül keringő bolygók, bár nem körpályákon keringenek, de rájuk is fennáll, hogy az egyre távolabbiaknak egyre nagyobb a keringési ideje:

bolygó átlagos
távolság *
\(T\)
Merkúr 0,4 0,24 év
Vénusz 0,7 0,6 év
Föld 1 1 év
Mars 1,5 1,9 év
Jupiter 5,2 12 év
Szaturnusz 9,6 29,5 év
Uránusz 19,2 84 év
Neptunusz 30 165 év

* az átlagos távolság a Naptól értendő, méghozzá Cs.E.-ben (csillagászati egység), ami a Nap-Föld átlagos távolságot jelenti (kb. 150 millió km).

Az előzőkbena szögsebességre kapott képletet beírva:

\[T=\frac{2\pi}{\omega}\]

\[T=\frac{2\pi}{\sqrt{f\frac{M}{r^3}}}\]

amiből:

\[\frac{T^2}{r^3}=\frac{4\pi^2}{fM}\]

(ami nem más, mint Kepler III. törvénye egy speciális ellipszisre, a körre).
 

 Energiák 

Milyen hatással van a pályasugár a keringő objektum mozgási energiájára, gravtációs potenciális energiájára illetve összes mechanikai energiájára? Ezt tárgyalja az égi mechanikai paradoxon oldal.