A lineáris hőtágulási törvény furcsaságai

A lineáris hőtágulási törvény furcsaságai

A lineáris hőtágulási törvény furcsaságai 7204 Link

 1. furcsaság: felmelegítés majd visszahűtés 

Vegyünk egy olyan fémrudat, melynek lineáris hőtágulási együtthatója az egyszerűség kedvéért legyen kerek, de a fémekre jellemző szám:

\(\alpha=10^{-5}\ \mathrm{\displaystyle \frac{1}{{}^\circ C}}\)

A fémrúd kezdeti adatai:

\(T_1=0\ \mathrm{{}^\circ C}\)

\(l_1=3\ \mathrm{m}\)

Melegítsük fel \(T_2=100\ \mathrm{{}^\circ C}\) hőmérsékletre! Számítsuk ki a fémrúd új (2‑es) hosszát!

\[l_2=l_1+\Delta l\]

\[l_2=l_1+\alpha\cdot l_1\cdot \Delta T_{1\to 2}\]

\[l_2=l_1+\alpha\cdot l_1\cdot \left(T_2-T_1\right)\]

Minden adatot írjunk be SI egységben, így megtehetjük, hogy mértékegység nélkül írjuk be őket:

\[l_2=3+10^{-5}\cdot 3\cdot 100\]

\[l_2=3+0,003\]

\[l_2=3,003\ \mathrm{m}\]

Ezután hűtsük vissza a kezdeti hőmérsékletre, vagyis legyen \(T_3=0\ \mathrm{{}^\circ C}\)!  Ez alapján a hőmérséklet‑változás:

\[\Delta T_{2\to 3}=T_3-T_2=0\ \mathrm{{}^\circ C}-100\ \mathrm{{}^\circ C}=-100\ \mathrm{{}^\circ C}\]

Számítsuk ki a legvégső hosszt! Ebben a lehűtési folyamatban a 2‑es állapot lesz a "kiindulási" állapot, így

\[l_3=l_2+\Delta l\]

\[l_3=l_2+\alpha\cdot l_2\cdot \Delta T_{2\to 3}\]

Minden adatot írjunk be SI egységben, mértékegység nélkül:

\[l_3=3,003+10^{-5}\cdot 3,003\cdot \left(-100\right)\]

\[l_3=3,003-0,003003\]

\[l_3=2,999997\ \mathrm{m}\]

Azt kaptuk, hogy hiába hűtöttük pontosan a legelső hőmérsékletre, a hossza nem "tért vissza", hanem "kicit öszement". Mielőtt a furcsaság okát megmagyaráznánk, nézzünk egy másik, hasonló esetet!


 2. furcsaság: felmelegítés egy illetve két lépésben 

Ugyanezt az \(\alpha=10^{-5}\ \mathrm{\displaystyle \frac{1}{{}^\circ C}}\) lineáris hőtágulási együtthatójú, \(l_1=3\ \mathrm{m}\) kezdeti hosszúságú, \(T_1=0\ \mathrm{{}^\circ C}\) kezdeti hőmérsékletű rudat melegítsük fel $100\ \mathrm{{}^\circ C}$‑ra, egyik esetben "egy lépésben", másik esetben viszont  két lépésben: először $50\ \mathrm{{}^\circ C}$‑ra, majd onnan tovább $100\ \mathrm{{}^\circ C}$‑ra. Az első esetet az előbb kiszámoltuk, ekkor a hossza

\[l_{\mathrm{végső}}=3,003\ \mathrm{m}\]

lett. A második eetben először $50\ \mathrm{{}^\circ C}$‑ra melegítjük. Ettől a hossza:

\[l_2=l_1+\alpha \cdot l_1\cdot \Delta T\]

\[l_2=3+10^{-5}\cdot 3\cdot 50\]

\[l_2=3+0,0015\]

\[l_2=3,0015\ \mathrm{m}\]

A következő lépében $50\ \mathrm{{}^\circ C}$‑ról $100\ \mathrm{{}^\circ C}$‑ra melegítjük, vagyis a hőmérséklet‑változás most is \(\Delta T=50\ \mathrm{{}^\circ C}\) lesz. Számítsuk ki a végső hoszt:

\[l_3=l_2+\alpha \cdot l_2\cdot \Delta T\]

\[l_3=3,0015+10^{-5}\cdot 3,0015\cdot 50\]

\[l_3=3,0015+0,00150075\]

\[l_3=3,00300075\ \mathrm{m}\]

Vagyis kicsit más eredményt kaptunk, mint amikor "egy lépésben" megegítettük fel $0\ \mathrm{{}^\circ C}$‑ról $100\ \mathrm{{}^\circ C}$-ra. (Persze érdekes kérdés az is, hogy mi értelme a "két lépésben" melegítésnek, hiszen ha "egy lépésben" melegítjük $0\ \mathrm{{}^\circ C}$-ról $100\ \mathrm{{}^\circ C}$‑ra, a folyamat során akkor is "átmegy" az $50\ \mathrm{{}^\circ C}$‑os állapoton...)


 A furcsaságok magyarázata 

A furcsaság magyarázatához nézzük meg, hogy mit is jelent a "lineáris" a lineáris hőtágulási törvényben. Nemcsak azt, hogy a testnek valamilyen lineáris (hosszmenti) méretéről beszélünk, hanem hogy ennek hőmérséklettől való függése (a hőtágulási grafikon) egy egyenes képét mutatja, azaz a hőtágulási függvény lineáris:

Ha egy függvény egyenes, akkor a meredeksége mindenhol ugyanakkora, tehát állandó érték. A meredekség általában az egységnyi pozitív vízszintes lépésre jutó függőleges elmozdulás ("ha egyet lépünk jobbra, mennyit lépünk fel/le")

\[m=\frac{\Delta y}{\Delta x}\]

Most, hőtáguláskor a függőleges $(y)$ tengelyen az \(l\) hossz van, a vízszintes $(x)$ tengelyen pedig a \(T\) hőmérséklet, emiatt most a meredekség:

\[m=\frac{\Delta l}{\Delta T}\]

A hőtágulási törvény szerint:

\[\Delta l=\alpha\cdot l_0\cdot \Delta T\]

Ezt beírva:

\[m\frac{\alpha\cdot l_0\cdot \Delta T}{\Delta T}\]

\[m=l_0\cdot \alpha \]

Azt kaptuk, hogy a hőméréklet változtatásakor az \(l_0\cdot \alpha \) szorzat mindig állandó. Tehát nem az \(\alpha\) lineáris hőtágulási együttható adódott állandónak. Konkrétabban: ha mondjuk egy \(0\ \mathrm{{}^\circ C}\)‑ról kezdődő, \(100\ \mathrm{{}^\circ C}\)‑ig tartó hőtágulási folyamatot végignézünk az elejétől fogva, illetve "a felétől, \(50\ \mathrm{{}^\circ C}\)‑tól, akkor az utóbbi esetben az \(l_0\) kezdeti hossz már nem ugyanannyi, mint a teljes folyamatban. Emiatt az \(50\ \mathrm{{}^\circ C}\)‑ról induló folyamatnál az \(\alpha\) lineáris hőtágulási együttható már kisebb kell legyen, mint a \(0\ \mathrm{{}^\circ C}\)‑ről kezdődő folyamat esetén. Tehát az \(\alpha\) lineáris hőtágulási együttható hőmérsékletfüggő.

Ezért van, hogy ha egy táblázatban megnézzük egy anyag hőtágulási együtthatóját, akkor ott szokott szerepelni zárójelben egy megjegyzés, hogy például ($20\ \mathrm{{}^\circ C}$‑on). Minden hőmérsékleten más értékű az \(\alpha\).

Vagyis a fenti levezetésekben az volt a hiba, hogy minden kiindulási hőmérsékletnél ugyanazzal az \(\alpha\)‑val számoltunk, pedig az \(\alpha\) hőmérsékletfüggő. Vagyis $0\ \mathrm{{}^\circ C}$‑on más az \(\alpha\), mint $50\ \mathrm{{}^\circ C}$‑on vagy $100\ \mathrm{{}^\circ C}$‑on.

(Gyakori, de téves elképzelés, hogy a fenti furcsaságok háttere az, hogy a lineáris hőtágulási törvény nem pontos, hanem csak közelítőleg írja le a valódi testek hőtágulását. Ugyan a hőtágulási törvény valóban csak bizonyos hőmérséklettartományban lineáris, akkor is csak közelítőleg az, de a fent tárgyalt furcsaságok akkor is fennállnak, ha a törvény pontos.)