Gyorskeresés

Miért vannak tehetetlenségi erők?

A Galilei-féle tehetetlenség törvénye (másnéven Newton I. törvénye) szerint ha egy testre nem hatnak erők (vagy a rá ható erők eredője nulla, amit szokás "erőmentes" állapotnak nevezni), akkor a test megőrzi az erőmentes állapotkor meglévő sebességét, vagyis a sebességének sem a nagysága, sem az iránya nem fog változni. Ennek következtében az erőmentes állapot alatt mindvégig egyenes vonalú egyenletes mozgást fog végezni. Ennek egy spaciális esete, hogy ha az erőmentes állapot beálltakor a test sebessége nulla volt (vagyis a test nyugalomban volt). Ilyenkor a sebessége nulla is marad (megőrzi nyugalmi állapotát).

Newton II. törvénye pedig kimondja, hogy egy $m$ tömegű testre ható erők \(\mathit{\Sigma}\overrightarrow{F}\) összessége (eredője) mekkora $a$ gyorsulást fog előidézni a testen:

\[\mathit{\Sigma}\overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}\]

Bármennyire is híresek Newton mozgástörvényei, mégis, a kísérletek szerint

 a Newton-féle mozgástörvények csak ritkán bizonyulnak érvényesnek. 

Példaként vegyünk egy autót, melyben ülünk, az ölünkben pedig van egy akvárium, félig vízzel töltve. Amikor az autó álló helyzetből elindul, azt látjuk, hogy a víz az akvárium hátsó falának csapódik és kiloccsan. De az autóból figyelve indezt, nem világos, milyen erő hatására mozdult el a víz az akváriumhoz képest. Ugyanakkor ha kívülről nézzük ugyanezt az eseményt, akkor érthető az egész, hiszen a víz nygalomban volt, és egyszer csak elmozdult az akvárium. Másik példa: egy egyenletes sebességgel haladó metróban ülünk, és a lábunk elé a padlóra helyezünk egy doboz gyufát. Amikor a metrószerelvény hirtelen fékez, a gyufásdoboz megindul előre felé, vagyis gyorsuló mozgást végez a metróhoz képest. De ki fejtett ki rá valami előre felé mutató erőt, amitő a fékezéskor gyorsulása lett? Kívülről nézve mindez érthető: a gyufásdoboz megőzize sebességét, csak alatta a metrószerelvény fékezett le. Harmadik példa, amikor a metrószerelvény egyenletesen halad, és a felső kapaszkodók függőlegesen lógnak lefelé, de fékezéskor a kapaszkodók ferdén kilendülnek előre felé, mintha valaki előre felé ható erőt fejetett volna ki rájuk. De kicsoda fejett ki erőt a kapaszkodókra? Ezekben az esetekben az a közös, hogy ha a mozgó (gyorsuló) járműben ülve figyeljü az eseményeket, akkor nem tudjuk megmondani, hogy a test gyorsulását milyen erő okozta, ki fejetette azt ki. Viszont kívülről nézve a jelenségek érthetők a newtoni mozgástörvényekkel.

A Newton-törvényekben szerepel a test sebességének időbeli változását mutató gyorsulás. Azonban a test sebességét sokféle vonatkoztatási rendszerben adhatjuk meg, és a különböző vonatkoztatási rendszerekben a test sebessége különböző. Ha kísérletekkel megvizsgáljuk a Newton-törvényeket, akkor azt tapasztaljuk, hogy azok csak bizonyos vonatkoztatási rendszerekben vizsgálódva bizonyulnak érvényesnek, míg más vonatkoztatási rendszerekben véve a test sebességét, gyorsulását már nem érvényesek. Most az egyszerűség kedvéért csak a Desartes-féle derékszögű vonatkoztatási rendszerekre gondoljunk. Ezeknek van egy origója, és három, egymásra merőleges (x; y; z) koordinátatengelye, melyek az origóból indulnak ki:

Két ilyen koordinátarendszer egymáshoz képest különféle mozgásokat végezhet:

  • a vonatkoztatási rendszerek origói egymáshoz képest haladó mozgást (transzláció) végezhetnek. Ez történhet állandó sebességgel (egyenletesen), vagy változó sebességel (gyorsulva).
  • a vonatkoztatási rendszerek tengelyei egymáshoz képest forgó mozgást végezhetnek (rotáció). Ez történhet állandó szögsebességgel ( egyenletesen), vagy változó szögsebességgel (szöggyorsulva).

Alaposan megvizsgálva a sokféle esetet, azt tapasztaljuk, hogy azok a vonatkoztatási rendszerek, melyekben a tehetetlenség törvénye érvényes, azok egymáshoz képest csak egyenletes haladó mozgást végeznek (tehát az origóik nem végeznek egymáshoz képest gyorsuló haladó mozgást, és a tengelyeik semmiféle egymáshoz képesti forgást nem végeznek). Ezeket a vonatkoztatási rendszereket inerciarendszereknek nevezzük.

Inerciarendszerből ezek alapján végtelen sok van. És van továbbá végtelen sok olyan vonatkoztatási rendszer, melyek nem inerciarendszerek, őket gyorsó rendszereknek hívjuk. Ez az elnevezés logikus, hiszen ha van egy inerciarendszerünk (jelöljük K-val), és egy nem inerciarendszerünk (jelöljük L-lel), akkor egy L rendszerhez képest álló testnek a K inerciarendszerből nézve mindenképp van gyorsulása. Ha ugyanis az L origója gyorsuló haladó mozgást végez a K origójához képest, akkor a test a K-ban nézve gyorsuló haladó mozgást fog végezni (lesz transzlációs gyorsulása). Ha pedig az L rendszer valamely tengelye forog a K rendszerhez képest, akkor az L-ben nyugvó test a K rendszerben forgó mozgást fog végezni, ami miatt a K-ban nézve mindenképpen lesz centripetális gyorsulása.

De mely rendszerek inerciarendszerek? Például a Föld felszínéhez rögzített ("lebetonozott") vonatkoztatási rendszerek ilyenek? A tapasztalat szerint (nagy pontossággal mérve) nem. Azonban az állócsillagokhoz rögzített vonatkoztatási rendszerek inerciarendszernek bizonyultak.

A számunkra nagy jelentőségű, földfelszínhez rögzített vonatkoztatási rendszerekkel kapcsolatban nézzünk két kérdést:

  • mi okozza, hogy nem inerciarendszer?
  • mennyire "nem pontosan" inerciarendszer ez?

A Föld felszínéhez rögzített rendszerek két okból sem inerciarendszerek:

  • a Föld bolygó az állócsillagokhoz képest nagyjából körmozgást végezve kering a Nap körül, emiatt a földfelszín pontjainak az inerciaredszerben van egy \(a_{cp\ K}\) centripetális gyorsulása
  • a Föld a saját tengelye körül is forog, emiatt a földfelszín pontjainak az inerciarendszerben van egy \(a_{cp\ F}\) centripetális gyorsulása (kivéve az északi és déli sarkot)

De mit is értsünk az alatt, hogy a földfelszínhez rögzített "hétköznapi" vonatkoztatási rendszer mennyire nem inerciarendszer, mennyire tér el attól? Induljunk ki abból, hogy mit is jelent, hogy nem érvényes Newton II. törvénye! Ez azt jelenti, hogy

\[\mathit{\Sigma}\overrightarrow{F}\neq m\cdot \overrightarrow{a}\]

vagyis az egyenlet nem áll fenn, az egyenlet két oldalán lévő mennyiségek nem egyeznek meg. Hogy lehetne megragadni, hogy "mennyire nem egyenlő" az egyenlet két oldala? A korrekt válasz az lenne, hogy mekkora eltérés van a két oldal között. De hát végtelen sok eset van! Törekedjünk az egyszerűségre, és ennek jegyében nézzünk egy olyan testet, amelyre ható erők eredője nulla (erőmentes)! Ha Newton II. törvénye érvényes lenne, akkor egy ilyen testnek nulla gyorsulása kellene legyen. Értsük az inercisrendszerhez képesti "eltérés" alatt azt, hogy mekkora gyorsulást tapasztalunk az erőmentes test esetén a várt a nulla gyorsulás helyett.

Erre vonatkozóan most nézzük (levezetés nélkül) csak az adatokat:

földfelszínhez rögzített rendszer gyorsuló mozgása gyorsulás jele gyorsulás nagysága kerekítve
Nap körüli keringés \(a_{cp\ K}\) $0,006\ {{m}\over {s^2}}$
saját tengely körüli forgás \(a_{cp\ F}\)

változó; legnagyobb értéke az Egyenlítőn:

\(0,034\ \frac{m}{s^2}\)

 

Ezzel most abszolút értelemben megadtuk az eltérést nagyságát, de sokszor beszédesebb a relatív eltérés. De mihez viszonyítsunk? Egy földfelszíni testre számtalan erő hathat. De ezek között van egy olyan erő, ami mindegyik testre hat: ez az $m\cdot g$ nehézségi erő. Persze ez a viszonyítási alap választásunk önkényes, támadhatató, hiszen más (sokkal nagyobb vagy sokkal kisebb) erők is hathatnak egy testre, de legalább  mégiscsak valamennyire indokolható. Nézzük, mekkora gyorsulások jelentkeznek a $g$ nehézségi gyorsuláshoz képest amiatt, mert a Föld nem inerciarendszer:

földfelszínhez rögzített rendszer gyorsuló mozgása gyorsulás jele gyorsulás nagysága kerekítve relatív gyorsulás a

\(g=10\ \frac{m}{s^2}\) 

%-ában
Nap körüli keringés \(a_{cp\ K}\) $0,006\ {{m}\over {s^2}}$

\(0,06\ \%\)

saját tengely körüli forgás \(a_{cp\ F}\)

változó, legfeljebb (az Egyenlítőn)

\(0,034\ \frac{m}{s^2}\)

\(0,34\ \%\)

Ezek alapján azt mondhatjuk, hogy a Föld felszínéhez rögzített vonatkoztatási rendszer jó közelítéssel, fél %-nál is nagyobb pontossággal inerciarendszer. Ez alapján az olyan esetekben, amikor nincs szükségünk néhány ezrelékes pontosságra, olyankor inerciarendszernek vehetjük.

De mit tegyünk az olyan vonatkoztatási rendszerek esetében, amikor az eltérés ennél is nagyobb? Két lehetőségünk van:

  • a Newton-féle mozgástörvényeket, mivel nem érvényesek, elvetjük, és helyettük megpróbálunk más mozgástörvényeket keresni
  • a Newton-féle mozgástörvényeket megpróbáljuk valahogy úgy módosítani, hogy érvnyessé váljanak

Mivel az emberi természet része bizonyos értékű ragaszkodás a jól bevált dolgokhoz, ezért a tudománytörténetben az utóbbi úton zajlott a haladás. Azt mondjuk, hogy ha a testre ható valódi erők összessége (gyorsuló rendszerekben) nem adja ki a test tömegének és gyorsulásának szorzatát, akkor valósítsuk meg az egyenlőséget úgy, hogy bevezetünk olyan (fiktív, úgynevezett tehetetlenségi) erőket, melyek a gyorsuló rendszerünk inerciarendszerrekhez képesti mozgásaitól (is) függenek. És beírva őket Newton II. törvényébe, az egyenlőség teljesül. Ezek a tehetetlenségi erők nem léteznek, nem tudunk rámutatni senkire és semmire, hogy "ő fejti ki" a tehetetlenségi erőket. Mégis sokszor hasznosak, mert időnként a jelenségek lerását, egyszerűbbé, könnyebben átláthatóvá teszik.

A tehetetlenségi erők tehát segédfogalmak, nincsen fizikai valóságuk. Gyorsuló rendszerben vizsgálva, leírva a jelenségeket, a testek tökéletesen úgy mozognak, mintha a rájuk ható valódi erőkkel együtt ezek a fiktív tehetetlenségi erők is hatnának rájuk.

 A tehetetlenségi erők korrekciós tényezők, amik bevezetésével a Newton-törvények érvényességét kiterjesztjük gyorsuló rendszerekre. 

Tehetetlenségi erőből sokféle van, attól függően, hogy az inerciatendszerhez képest gyorsuló rendszerünk milyen gyorsuló mozgásokat végez, valamint attól is függően, hogy a testünk mozog-e a gyorsuló rendszerben vagy sem. Ha az egyszerűség kedvéért azt mondjuk, hogy a gyorsuló rendszerünk origója mozogjon \({\overrightarrow{a}}_0\) gyorsulással az inerciarendszer origójához képest, és forogjon az egyik tengelye körül (de csak egyenletesen), akkor háromféle tehetetlenségi erő hat egy mozgó testre:

  1. transzlációs tehetetlenségi erő (az origó gyorsulása miatt)
  2. centrifugális-erő (a tengely forgása miatt mindig)
  3. Coriolis-erő (a tengely forgása miatt, de csak mozgó testre)

Ezekkel mindegyikével külön foglalkozik egy-egy tudáscsepp.

A gyorsuló rendszer végezhet még ennél is bonyolultabb mozgást (többirányú forgás illetve nem egyenletes forgás), de ezek tárgyalása már messze túlmutat a középiskolai fizika keretein.