A Nap magjának nincs éles határa, általában azt szokták mondani, hogy a sugara negyedéig tart. A Nap sugara \(700\ 000\ \mathrm{km}\), sugárzási teljesítménye \(3,827\cdot 10^{26}\ \mathrm{W}\). Vajon a földi fúziós erőművek miért nem a Nap fúziós folyamatait próbálják "leutánozni"? Egyrészt azért, mert a Nap közepén a nyomás a Földi légköri nyomásnál kb. 268 milliárdszor nagyobb, amit semmilyen földi berendezés nem tudna elviselni. De van más gond is, egy erőműnek elég kis méretben kell elég nagy teljesítményt termelnie.
a) A Nap magjának \(1\ \mathrm{m^3}\)-es darabja átlagosan hány watt teljesítményt termel (pontosabban szólva mekkora teljesítménnyel alakítja át a nukleáris kötési energiát termikus energiává)?
\(\displaystyle p=17\ \mathrm{\frac{W}{m^3}}\)
A feladat azt az arányszámot keresi, hogy egységnyi térfogatra mennyi teljesítmény jut, vagyis a térfogatra vonatkoztatott fajlagos teljesítményt:
\[p=\frac{P}{V}\]
amiből a teljesítményt tudjuk:
\[P=3,827\cdot 10^{26}\ \mathrm{W}\]
A \(V\) térfogat a Nap magjának térfogata. Legyen \(r_N\) a Nap sugara, és \(r_m\) a magjának sugara! A mag egy, a Nap sugaránál 4-szer kisebb sugarú gömb, ezért térfogata így számolható:
\[V=\frac{4\pi}{3}r_m^3\]
\[V=\frac{4\pi}{3}\left(\frac{r_N}{4}\right)^3\]
\[V=\frac{4\pi}{3}\left(\frac{r_N^3}{4^3}\right)\]
\[V=\frac{4\pi}{3}\left(\frac{r_N^3}{64}\right)\]
\[V=\frac{4\pi}{3\cdot 64}r_N^3\]
\[V=6,545\cdot 10^{-2}\cdot r_N^3\]
Beírva a Nap \(700\ 000\ \mathrm{km}\)-es sugarát:
\[r_N=700\cdot 10^3\ \mathrm{km}=7\cdot 10^8\ \mathrm{m}\]
\[V=6,545\cdot 10^{-2}\cdot r_N^3\]
\[V=6,545\cdot 10^{-2}\cdot \left(7\cdot 10^8\ \mathrm{m}\right)^3\]
\[V=2,245\cdot 10^{25}\ \mathrm{m^3}\]
Beírva az eredeti egyenletbe a kapott térfogatot:
\[p=\frac{P}{V}\]
\[p=\frac{3,827\cdot 10^{26}\ \mathrm{W}}{2,245\cdot 10^{25}\ \mathrm{m^3}}\]
\[p=17\ \mathrm{\frac{W}{m^3}}\]
Ehhez képest egy jelenlegi paksi reaktorblokk tárfogata \(16,4\ \mathrm{m^3}\), hőteljesítménye \(1487\ \mathrm{MW}\), így benne a térfogati teljesítménysűrűség:
\[p=\frac{1487\ \mathrm{MW}}{16,4\ \mathrm{m^3}}\]
\[p=9\cdot 10^7\ \mathrm{\frac{W}{m^3}}\]
Vagyis ha egy paksi blokkhoz hasonló teljesítményű fúziós erőmű a Nap módjára működne, akkor annak sokkal nagyobb méretűnek kellene lennie, mint egy atomerőművi aktív zóna.