Az égi mechanikai paradoxon "születése"
1965-ben az épp Föld körüli keringési pályára állt Gemini IV űrhajóval megpróbálták az őket feljuttató Titan II rakéta második fokozatát megközelíteni. Ezzel egyfajta előkészület volt egy későbbi küldetésben tervezett "űrrandevúra" (ami két űrhajó közel kerülése egymáshoz az űrben). Ez amiatt különösen nehéz volt, mert még nem készültek el egy ilyen manővert segítő irányító eszközök (szenzorok, radar, számítógép), így csak kézi vezérléssel próbálhatták meg a műveletet.
Először az űrhajósok beforgatták az űrhajójukat olyan helyzetbe, hogy a hajtómű működtetése majd a megcélzott hordozórakéta felé lökje őket. Ezután rövid időre beindították a hajtóművet. Azt várták, hogy kissé közelebb kerülnek a hordozórakétához. Azonban meglepődve az ellenkezőjét tapasztalták: még jobban eltávolodtak tőle. Az újabb próbálkozások még tovább növelték a távolságot, míg végül a sok üzemanyaghasználat miatt siketelenül hagyták abba a betervezett feladatot. A furcsaság oka az "égi mechanikai paradoxon", mely szerint egy keringési pályán gyorsítás (sebesség irányú tolóerő alkalmazása) hatására a keringő test sebessége (a várt növekedés helyett) csökken, lassítás hatására pedig növekszik. A NASA mérnökei természetesen jól ismerték a jelenséget, hiszen azt a klasszikus fizika megjósolja. Az űrhajósokat amiatt érte ez meglepetésként, mert őket repülőgép-pilótákból képezték ki, így a "megszokásaik" a földi repülőgépek vezetésből vésődtek be az agyukba, itt viszont más körülmények voltak és máshogy működtek a dolgok. A NASA az űrhajósok döbbenete miatt felismerte a probléma súlyát, és az eredetinél komolyabb földi, szimulátoros kiképzést ("átnevelőtábort") rendelt el.
Ehhez hasonló furcsaság, amikor egy Föld körül keringő műholdat (vagy űrállomást) a keringő mozgása során a ritka légkör súrlódása, légellenállása folyamatosan "lassít", ennek ellenére a keringési (kerületi) sebessége egyre csak növekszik.
Nézzük, miért van ez a furcsaság, látszólagos ellentmondás!
Az égi mechanikai paradoxon működése
A rakéta működése során az űrhajóra tolóerő hat, ami a rakéta által a kifújt égéstermék felgyorsításához ifejtett erőellenereje, reakcióereje. A tolóerő munkája pozitív, hiszen most gyorsító üzemmódban előrefelé (a menetirányba) hat, tehát az űrhajó elmozdulásával azonos irányba. Emiatt a tolóerő munkája pozitív, vagyis a tolóerő munkavégzése energiát ad az űrhajónak. Ez alapján várhatjuk azt, hogy a kapott energia révén az űrhajónak meg fog nőni a mozgási energiája, amit a munkatétel állít:
\[W=\mathit{\Delta}E^{\mathrm{mozg}}\]
A gondolatmenetünkben az a hiba, hogy a munkatétel bal oldalán nem a testre ható egyik erőnek a munkája szerepel, hanem az összes erőé:
\[\Sigma W=\mathit{\Delta}E^{\mathrm{mozg}}\]
De hát milyen másik erő munkája játszik még szerepet, amit be kellene írni a munkatétel bal oldalába? Hát a gravitációs erőé, ami a Gemini 4 esetében a Föld gravitációs vonzását jelentette. Az égitestek körül nagy pontossággal centrális gravitációs mező van, ami olyan, mintha az égitest tömege a közepére lenne besűrítve egy pontszerű kis térfogatba. Egy \(M\) tömegű vonzócentrum tömegközéppontjától \(r\) távolságban lévő \(m\) tömegű űrhajó gravitációs potenciális energiája, ami definíció szerint megegyezik a gravitációs erő munkvégzésével, miközben az űrhajó elmozdul ebből a pontból a referenciapontként választott végtelen távoli pontba:
\[E^{\mathrm{pot}}=-f\frac{Mm}{r}\]
Amikor egy körpályán keringú űrhajót a hajtóműve tolóereje gyorsít, akkor a sebesség irányába, azaz a pálya érintője irányba kell hasson. Ettől az űrhajó kissé el fog távolodik a vonzócentrumtól:
Ha pedig eltávolodik, akkor a gravitációs potenciális energiája megnő, hiszen egy nagyobb \(r\) érték lesz a képlet nevezőjében, amitől a tört értéke kisebb lesz, de a negatív előjel miatt ez egy kisebb abszolút értékű negatív számot fog jelenteni, ami nagyobb szám az eredetinél. Tehát az űrhajó sebessége amiatt fog csökkeni (annak ellenére, hogy gyorsítja a tolóerő), mert amennyi energiát kap a tolóerő munkavégzése által, annál az energiánál még többet kell elhasználnia arra, hogy biztosítsa a gravitációs potenciális energiája megnövekedését (a távolabbi helyzetből következően). Más szóval, a hajtómű működtetése által kapott energia azért nem tudja növelni az űrhajó mozgási energiáját, mert azt "elviszi" az eltávolodás miatti helyzetienergia-növekedés, sőt, még annál is többet visz el, ezért aztán még csökkenni is fog a mozgási energia.
A paradoxon háttere, hogy az emberi agy mindig próbál egyszerűsíteni, csak sajnos időnként ezt (az egyébként sokszor hasznos) egyszerűsítést már túlzásba visszük. A munkatételben a mozgási energia megváltozásához szükségünk van munkavégzésére, és amikor a tolóerő munkáját számba vesszük, akkor (hibásan) azt gondoljuk, már elintéztük, letudtuk a munkavégzéseket. De nem, mert a tolóerőn túl a gravitációs erő is működik eközben (csendben) a háttérben, és az ő munkája is számít. Ráadásul mivel kétszer akkora, mint a tolóerőé, ezért ő hatása lesz a domináns.
Egy 2022-es alkalmazás
2022-ben a NASA DART missziója során a 780 méter átmérőjű Didymos A nevű objektum körül keringő 160 méteres Didymos B-be csapódott egy földről odaküldött 610 kg-os szonda. A kísérlet célja annak tanulmányozása volt, hogy mekkora hatás váltható ki ilyen módon egy aszteroidán, mindez annak előkészületeként, ha egy felénk tartó űri objektum a Földbe csapódással és nagy pusztulással fenyegetne, akkor így eltéríthető-e. A céltárgy eredetileg kb. 12 órás periódusidővel keringett a nagyobb objektum körül, és azt várták, hogy a szemből becsapódó szonda annyit lassít a kerületi sebességén, hogy (az égi mechanikai paradoxon alapján) kisebb méretű pályára áll, de az átlagos sebessége megnő, a keringési ideje pedig ezek alapján csökken, méghozzá 73 másodperccel. Az eredmény felülmúlta a várakozásokat, és 32 perccel rövidebb lett a periódusidő. Ennek oka, hogy a becsapódás hatására a felszínről a világűr felé "kirobbanó" anyag is változtatott a Didymos B lendületén.
Az égi mechanikai paradoxon energatikai magyarázata körpályákra
Az égi mechanikai paradoxon akármilyen alakú pályákon igaz, de mi most a gimnáziumi matematikával végigszámolhatóság kedvéért csak a legegyszerűbb esetben, körpálya esetében vezetjük le. A kozmikus sebességeket tárgyaló oldalon már levezettük, hogy körpályás keringéskor a vonzócentrum gravitációs ereje egymaga biztosítja a körmozgáshoz szükséges centripetális gyorsulást:
\[f\frac{mM}{r^2}=m\frac{v^2}{r}\]
Fejezzük ki ebből az egyenletből az \(m\) tömegű keringő test \(\displaystyle \frac{1}{2}mv^2\) mozgási energiáját! Először szorozzunk az \(r\) pályasugárral:
\[f\frac{mM}{r}=mv^2\]
majd osszunk 2-vel:
\[f\frac{mM}{2r}=\frac{1}{2}mv^2\]
Tehát:
\[E^{\mathrm{mozg}}=\frac{1}{2}mv^2=f\frac{Mm}{2r}\]
A keringő test gravitációs potenciális energiáját pedig az előbb már felírtuk:
\[E^{\mathrm{pot}}=-f\frac{Mm}{r}\]
Az egyenletekből látható, hogy a potenciális energia mindig kétszer nagyobb abszolút értékű, mint a mozgási energia (csak a potenciális energia negatív előjelű, a mozgási pedig pozitív). Ebből következően az összes mechanikai energia (a továbbiakban összenergia) mindig pont ugyanakkora abszolút értékű, mint a mozgási energia, és szintén fele nagyságú a gravitációs potenciálishoz képest:
Ha az energiák mindig így viszonyulnak egymáshoz, abból az is következok, hogy ha bármely körpályáról bármelyik másik körpályára áttérünk, akkor eközben a potenciális energia mindig 2-szer nagyobbat fog változni (abszolút értékben), mint amekkorát a mozgási energia és az összenergia változnak.
A tolóerő munkája az űrhajó összenergiáját változtatja meg, például gyorsításkor növeli azt. Az összenergia növekedése azonban úgy következik be, hogy a nagysága csökken, ugyanis a kezdetinél kisebb negatív értékűvé válik. Eközben a mozgási energia, ami ugyanakkora abszolút értékű, mint az összenergia, az is csökkenni fog, a potenciális energia pedig (az összenergiához hasonlóan) úgy fog növekedni, hogy a nagysága kisebbé válik, kisebb negatív értékű lesz, mint kezdetben volt.
A gyakorlatban ha egy körpályán haladó űrhajó úgy használja a hajtóművét, hogy az érintő irányba fejtsen ki tolóerőt, akkor a keringési pálya már nem kör alakú lesz. Körpályáról körpályára áttéréshez bonyolultan kellene változtatgatni a hajtómű tolóerejének irányá, de mi csak körpályát tudunk számolni gimis szinten, ellipszist már nem.
A fenti összefüggések a Bohr-modell hidrogénatomjában is fennállnak, ugyanis az ottani, a protonból álló mag körül keringő elektron is egy olyan centrális erőtérben mozog, melyben a rá ható vonzóerő a távolság négyzetével fordítottan arányos, vagyis az erőtörvény hasonló struktúrájú, csak más természetű, így konstansokban tér csak el a végeredmény.