Régen a hagyományos (volfrám szálas) izzókból gyártottak \(500\ \mathrm{W}\), sőt még \(1000\ \mathrm{W}\) teljesítményűt is. Mivel a volfrámszálas izzók a felvett energia \(\approx 95\%\)-át hővé alakították (csupán \(\approx 5\%\)-nyi látható fény produkáltak), az ilyen nagy teljesítményű izzókat a jelentős hőfejlődésük miatt nagyobb méretűre kellett készíteni, mint a háztartásokban használt \(60\ \mathrm{W}\)-os vagy \(100\ \mathrm{W}\)-os izzókat.
a) Régen az elektromos hálózat feszültsége még nem \(230\ \mathrm{V}\), hanem \(220\ \mathrm{V}\) volt. Ha van egy régi, még \(220\ \mathrm{V}\)-ra tervezett \(1000\ \mathrm{W}\)-os izzónk, akkor milyen paraméterekkel (ellenállás, maximális teljesítmény) rendelkező ohmikus ellenállás segítségével és milyen kapcsolással tudnánk megoldani, hogy az izzó "pont azt kapja, amire tervezték"?
\(R=2,2\ \mathrm{\Omega}\)
\(P_R=45,45\ \mathrm{W}\)
Mivel a hálózat \(230\ \mathrm{V}\)-os feszültsége nagyobb, mint az izzónak szükséges \(220\ \mathrm{V}\), ezért az lenne a jó, ha a \(230\ \mathrm{V}\) egy része leesne az áramkörbe kapcsolt ellenálláson, és csak a maradék \(220\ \mathrm{V}\) jutna rá az izzóra. A feszültség szétoszlása az alkatrészeken soros kapcsolásnál következik be, míg ha párhuzamosan kapcsolt alkatrészekre adunk feszültséget, akkor azok mindegyike megkapja a teljes rákapcsolt feszültséget, ami itt nem lenne jó. Tehát sorba kell kapcsolnunk egy \(R\) ellenállást az izzóval ("előtétellenállás"), amire rájut a "fölösleges" \(10\ \mathrm{V}\), hogy az izzónk megkapja a neki ideális feszültséget:
Tudjuk, hogy soros kapcsoláskor a nagyobb ellenálláson esik nagyobb feszültség, pontosabban szólva ahányszor nagyobb az egyik ellenállás a másiknál, annyiszor nagyobb feszültség esik rajta. Mivel az izzónkon eső \(220\ \mathrm{V}\) feszültség 22-szer nagyobb, mint az előtétellenálláson eső \(10\ \mathrm{V}\), ezért az előtét 22-szer kisebb ellenállású kell legyen, mint az izzó. De mennyi az izzó ellenállása működés közben? Ezt a teljesítménye segítségével kiszámolhatjuk:
\[P=U\cdot I=I^2\cdot R=\frac{U^2}{R}\]
hiszen tudjuk, hogy az izzó \(P_{\mathrm{i}}=1000\ \mathrm{W}\) teljesítményű. A adatokat beírva:
\[P_{\mathrm{i}}=\frac{U_{\mathrm{i}}^2}{R_{\mathrm{i}}}\]
\[1000\ \mathrm{W}=\frac{\left(220\ \mathrm{V}\right)^2}{R_{\mathrm{i}}}\]
Mivel minde SI-egységben van, a mértékegységeket elhagyhatjuk:
\[1000=\frac{220^2}{R_{\mathrm{i}}}\]
\[1000=\frac{48\ 400}{R_{\mathrm{i}}}\]
\[R_{\mathrm{i}}=48,4\ \mathrm{\Omega}\]
Ennél 22-szer kisebb kell legyen az előtét \(R\) ellenállása:
\[R=\frac{R_{\mathrm{i}}}{22}\]
\[R=2,2\ \mathrm{\Omega}\]
Tehát azt már tudjuk, hogy mekkora ellenállású legyen az előtét. De minde ellenállás csak valamekkora áramerősséget bír elviselni (károsodás nélkül-), hiszen a rajta átfolyó áram hőt fejleszt, melynek teljesítménye:
\[P=U\cdot I\]
Az ellenállások "tűrőképességét megadhatnák a rajtuk átfolyatató maximális áramerősséggel is ("Hány ampert bír ki?"), de általában a rajtuk fejlődő hőteljesítménnye szokás ("Hány wattot bír?"); ezért ezt kérdezi a feladat. Számítsuk tehát ki az előtét teljesítményét:
\[P=U\cdot I=I^2\cdot R=\frac{U^2}{R}\]
Mivel a feszültségét és az ellenállását tudjuk, ezért a 3. képlettel:
\[P_{R}=\frac{U_{R}^2}{R}\]
Az adatokat SI-egységekben, mértékegység nélkül beírva:
\[P_{R}=\frac{10^2}{2,2}\]
\[P_{R}=\frac{100}{2,2}\]
\[P_{R}=45,45\ \mathrm{W}\]