Állóhullámok sípokban, csövekben

Állóhullámok sípokban, csövekben

Állóhullámok sípokban, csövekben 14691 Link

Állóhullámokat nemcsak húrokon hozhatunk létre, hanem üreges testekben is, melyek oldalfalai visszaverik, terelik a hanghullámokat. Nézzük ennek egyszerű (idealizált) esetét, amikor az üreges test "egydimenziós", azaz hosszúkás és vékony, vagyis egy cső, és a bent lévő levegőben valahogyan nyomásingadozást hozunk létre! A csőben terjedő hullámok közül bizonyos frekvenciájúak felerősödnek, melyek hullámhossza "illeszkedik" a légoszlop hosszához, hasonlóan, ahogy a húroknál is volt. De míg a húron transzverzális hullám terjedt, itt, a levegőben (mint gázokban mindig) csak longitudinális hanghullám terjedhet. Ilyenek típusú hangszer igen sok van: furulya, fuvola, klarinét, fagott, kört, trombita harsona, tuba, orgona, xilofon, marimba.
 

 Mindkét végén zárt síp 

A sípok esetében a fő szabály: rögzített végnél mindig csomópont van, nyitott végnél pedig mindig duzzadóhely.

Ez alapján a mindkét végén zárt síp a legegyszerűbb, mert ez lényegében ugyanolyan, mint a már korábban megtárgyalt húr, hiszen annak is mindkét végén csomópont található. A kialakuló hullámokat így rajzolhatjuk be:

Ez alapján az alaphang esetén pont egy félhullámhossz fér a síp \(L\) hosszára rá, a felhangoknál pedig 2; 3; 4 stb félhullámhossz. Egyenlettel:

\[L=\frac{\lambda}{2}\cdot k\]

Ebből a kialakuló hullámhosszokat kirendezhetjük:

\[\lambda=2L\cdot \frac{1}{k}\]

Amiből a kialakuló frekvenciák a \(c=\lambda \cdot f\) összefüggéssel:

\[f=\frac{c}{2L}\cdot k\]

 

 Egyik végén zárt, másik végén nyitott síp 

A fuvola (leegyszerűsítve, minden billentyűt lefogva) egy olyan egyenes cső, mely egyik végén zárt, a másik végén nyitott, és a fúvókánál fújt levegő a fúvóka szélén periodikus örvényleválásokat okoz, ami nyomásingadozással jár, tehát hanghullámok keletkeznek. Zárt végnél mindig csomópont van, nyitott végnél pedig mindig duzzadóhely, ez alapján az ilyen sípban kialakuló állóhullám módusok így rajzolhatók le:

Itt a minél fehérebb szín jelezi a nagyobb ampitúdóval rezgő helyeket, a sötétkékek pedig a csomópontok helyét. Azt látjuk, hogy a cső \(L\) hosszúságára az első módusnál egyetlen negyedhullámhossz fér, a második módusban három negyedhullámhossz, a harmadik módusban pedig öt negyedhullámhossz. Vagyis a negyedhullámhossz páratlan számú többszörösei egyenlők a síp hosszával. Egyenlettel:

\[L=\frac{\lambda}{4}\cdot (2k+1)\]

ahol \(k\) tetszőleges pozitív egész szám. A létrejövő hullámhosszokat kirendezve:

\[\lambda=L\cdot \frac{4}{2k+1}\]

Illetve a létrejövő frekvenciákat a \(c=\lambda\cdot f\) alapján:

\[f=\frac{c}{4L}\cdot (2k+1)\]

Vegyük észre, hogy a felhangok között most nincs minden egész számú többszöröse az alaphangnak, hanem csak a páratlan számú többszörösei szerepelnek.

Ebbe az elrendezésbe nemcsak hivatalos hangszerek tartoznak (fuvola, klarinét stb), hanem az egyik leghétköznapibb "hangszer" is, amikor belefújunk egy italos üveg felső nyílásába. Az üvegbe vizet töltve csökkenthetjük a rezgésbe hozott levegőoszlop \(L\) hosszát, vagyis növelhetjük az alaphang frekvenciáját:


 

 Mindkét végén nyitott síp 

Amikor a cső mindkét vége nyitott, akkor mindkét végnél duzzadóhelynek kell lennie. A berajzolható módusok:

Észrevehetjük, hogy most a cső \(L\) hosszára a félhullámhossznak pont egy-, két-, háromszorosa fér rá. Másképp fogalmazva, a negyedhullámhossz, vagy annak páros számú többszörösei. Egyenlettel:

\[L=\frac{\lambda}{4}\cdot 2k\]

Ebből a hullámhossz:

\[\lambda=4L\cdot \frac{1}{2k}\]

A frekvenciák pedig a \(c=\lambda\cdot f\) egyenlet segítségével:

\[f=\frac{c}{4L}\cdot 2k\]

Azt kaptuk, hogy az előbb is szereplő \(\displaystyle \frac{c}{4L}\) kifejezésnek ezútal nem a páratlan, hanem páros számú többszörösei lesznek a lehetséges frekvenciák.

Ennek a "mindkét végén nyitott síp" elrendezésnek érdekes hétköznapi alkalmazása az "ütőcső", angol nevén Boomwhackers:

Másik érdekes alkalmazás, amikor az építkezések állványzatát alkotó fémcsövek a szél hatására huhogó, dudáló hangokat adnak mindkét végén nyitott sípként. A jelenség megihletett művészeket is, ezekből keletkeztek a szélben "éneklő" installációk, mint a Singing Ringing Tree az angliai Burnley-ben:

Valamint a Luke Jerram tervezte Aeolus, mely 310 db polírozott rozsdamentes acélcsőből áll:

Fejezet