Egy $2\ \mathrm{mm}$ átmérőjű üvegcsőben lévő higanyt átöntünk egy $1\ \mathrm{mm}$ átmérőjűbe. Hogyan változik a „higanyszál” elektromos ellenállása?
A) Változatlan marad.
B) 2-szeresére nő.
C) 4-szeresére nő.
D) 16-szorosára nő.
A) Változatlan marad.
B) 2-szeresére nő.
C) 4-szeresére nő.
D) 16-szorosára nő.
A higanyszál \(R\) ellenállását a drótnál tanult képlettel számíthatjuk:
\[R=\varrho\frac{\ell}{A}\]
ahol \(\varrho\) a higany fajlagos ellenállása, \(\ell\) a higanyszál hossza és \(A\) a higanyszál keresztmetszete.
Ha a $d_1=2\ \mathrm{mm}$ átmérőjű üvegcsőben lévő higanyt átöntjük egy $d_2=1\ \mathrm{mm}$ átmérőjűbe, ettől hogyan változik meg az \(A\) kersztmetszete? A csövek keresztmetszete kör szokott lenni, így a képlet:
\[A=r^2\pi\]
Az átmérőnk felére csökken, emiatt a sugár is a felére csökken, hiszen az ármérő mindig a sugár kétszerese:
\[d=2r\]
A keresztmetszetek:
\[A_1=r_1^2\pi\]
\[A_2=r_2^2\pi=\left(\frac{r_1}{2}\right)^{\! 2} \pi\]
\[A_2=\frac{r_1^2}{2^2}\pi\]
\[A_2=\frac{1}{4}r_1^2 \pi\]
Vagyis mivel a keresztmetszet a sugár négyzetével arányos, ezért 2-szer kisebb sugarú csőnek a keresztmetszete \(2^2=4\) miatt 4-szer kisebb.
Vajon változik-e a higanyszál \(\ell\) hossza? Igen, hiszen a higany folyadék, a folyadékok pedig "összenyomhatatlanok", ami azt jelenti, hogy egy kismértékű térfogatváltozáshoz már óriási nyomásváltozás szükséges (konkrétan higanynál 1%-nyi térfogatcsökkentéshez a légnyomás 285-szörösével szükséges megnövekdenie a nyomásnak!). Márpedig a szoba levegőjének nyomása a folyamat során állandó, és még a higanyszál hidrosztatikai nyomása sem megy túl a légnyomás nagyságrendjén, ha kézbe fogható méretű csövekben gondolkodunk (nem pedig kilométer hosszú csövekben, de még azokban is csak picit nyomódna össze a higany a saját súlyaából származó hidrosztatikai nyomás miatt). Ezek alapján azt mondhatjuk, hogy a higany térfogata nagy pontossággal állandónak vehető. Egy kör keresztmetszetű csőben lévő folyadék térfogata a henger "alapszor magasság" módján számítható:
\[V=A\cdot \ell\]
Ha az \(A\) keresztmetszet a második esetben 4-szer kisebb lesz, mint kezdetben, akkor ez alapján a jobb oldali szorzat úgy maradhat állandó, ha az \(\ell\) hossz viszont a 4-szeresére növekszik:
\[\ell_2=4\ell_1\]
Nézzük, milyen hatással van ez a két hatás (a keresztmetszet 4-szeres csökkenése és a hossz 4-szeres növekedése) együttesen higanyszál ellenállására:
\[R_1=\varrho\frac{\ell}{A}\]
\[R_2=\varrho\frac{4\ell}{\displaystyle \frac{A}{4}}\]
\[R_2=\varrho \cdot 4\ell \cdot \frac{4}{A}\]
\[R_2=16\cdot \varrho \frac{\ell}{A}\]