A Föld az inerciarendszerekhez képest forog a saját tengelye körül. Emiatt ha a földfelszínen a testek egyensúlyát, mozgását a felszínhez rögzített (így az inerciarendszerben forgó, gyorsuló) vonatkoztatási rendszerben írjuk le, akkor úgy viselkednek, mintha hatna rájuk a a centrifugális erő. Tehát a földhöz rögzített rendszerben a tárgyak viselkedése olyan, mintha a fiktív centrifugális erő módosítaná a testre ható valódi erőt, a Föld gravitációs vonzását.
A centrifugális erőben fogalmilag a test tehetetlen tömege szerepel, míg a gravitációs erőben a test gravitáló (más néven súlyos) tömege. A világon elsőként Eötvös Loránd bebizonyította be kísérletileg (1890), hogy a kétféle tömeg nagy pontossággal \((1\ :\ 200\ 000)\) azonos. Ehhez a saját tervezésű torziós-ingáját használta. Később munkatársaival a pontosságot \(1\ :\ 200\ 000\ 000\)-ra növelte, azóta további nagyságrendekkel javították az állítás pontosságát.
A földhöz rögzített vonatkoztatási rendszerben végzett kísérlettel tehát nem tudjuk megkülönböztetni, szétválasztani a testekre ható valódi gravitációs erőt és a fiktív centrifugális erőt. Mérés során mindig csak a kettő eredőjét észleljük. A földfelszínhez rögzített vonatkoztatási rendszerben a vizsgált testre a Föld miatt ható erőt neveztük el nehézségi erőnek. Ez a fenomenologikus megközelítés. Analitikus megözelítésben pedig
az $m\cdot g$ nehézségi erő a Föld által a testre ható (valódi) gravitációs vonzóerőnek és a földfelszínhez rögzített vonatkoztatási rendszer miatt fellépő (fiktív, tehetetlenségi) centipetális erőnek az eredője
De már maga a gravitációs vonzóerő is eltérő a földfelszín különböző pontjain, ugyanis a Föld, amikor a születésekor olvadt állapotú volt, (a forgása miatt) az Egyenítőnél kissé kidudorodott, és a földkéreg ilyen "torzultan" szilárdult meg. Ezért a felszín egyenlítői pontjai kissé (kb. 21 km-rel) távolabb vannak a Föld tömegközéppontjától, mint a sarkok. A két effektus egymást segíti, ennek eredményeképpen
a sarkoktól az Egyenlítő felé haladva a \(g\) nehézségi gyorsulás kb. 5 ezreléket csökken \(\displaystyle g=9,83\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\)-ről \(\displaystyle g=9,78\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\)-re. Ennek 2/3 részét a centrifugális erő okozza, a másik 1/3 részt a Föld egyenlítői kidudorodása
Emiatt ha ráállunk a mérlegre az Északi- vagy a Déli‑sarkon, akkor 5 ezrelékkel többet fog mutatni, mint amikor az egyenlítőn állunk rá. Ez egy \(60\ \mathrm{kg}\)‑os ember esetén \(30 \ \mathrm{dkg}\)‑ot jelent (természetesen a tömegünk eközben semmit se csökken, csak a súlyunk változik).
Nézzük ezeket az effektusokat részletesen!
A centrifugális erő
Induljunk ki a centrifugális erő képletéből:
\[\vec{F}_{\mathrm{cf}}=m\cdot {\omega }^2\cdot \vec{r}\]
ahol \(\vec{r}\) a forgástengelytől merőlegesen induló, a testig húzott helyvektor. Tehát a centrifugális erő "kifelé" mutat, ellentétben a centripetális gyorsulással, mely a körpálya középpontja felé "befelé" irányul.
Ez alapján annál nagyobb a centrifugális erő, minél messzebb van a test a Föld forgástengelyétől, amit az $r$ szimbólummal jelölünk. Ez alapján az Északi- és a Déli-sarkon a centrifugális erő nulla, és azt egyenlítő felé egyre nagyobb. Az iránya mindig a forgástengelytől kifelé mutat, ezért az Egyenlítőn függőlegesen felfelé mutat, mindenhol máshol viszont a felszínhez (vízszinteshez) képest ferde irányú:
A földfelszíni testek egyensúlyát, mozgását azonban nemcsak a fiktív centrifugális erő befolyásolja, hanem a Föld gravitációs vonzása is. Hogy az ábrába berajzoljuk, előbb tisztáznunk kell, mekkorák ezek egymáshoz képest. A Newton‑féle gravitációs vonzóerő képlete:
\[F_{\mathrm{gr}}=\gamma \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}\]
ahol $\gamma $ a gravitációs állandó:
\[\gamma =6,674\cdot {10}^{-11}\ \mathrm{\displaystyle \frac{\ Nm^2}{\ {kg}^2}}\]
$m_1$ és $m_2$ az egymással gravitációs kölcsönhatásban lévő két test tömegei (jelen esetben a földfelszíni tárgyé, valamint a Föld bolygóé, ami:
\[m_{\mathrm{F}}=6\cdot {10}^{24}\ \mathrm{kg}\]
Az $r$ pedig a két test tömegközéppontjainak távolsága. Ez az $r$ távolság földfelszín pontjai esetében közel azonos, hiszen a Föld nagy pontossággal gömb alakú. A Föld egyenlítői sugara ugyanis $6378\ \mathrm{km}$, míg a poláris (sarki) sugara $6357\ \mathrm{km}$, aminek aránya
\[\frac{6378\ \mathrm{km}}{6357\ \mathrm{km}}=1,0033\]
vagyis az egyenlítői sugár mindössze $0,33\%$‑kal nagyobb, mint a poláris sugár, ezt első közelítésben azonosnak vehetjük.
Számítsuk ki egy $1\ \mathrm{kg}$‑os testre ható gravitációs erőt az átlagos sugárral, azaz $6373\ \mathrm{km}$-rel:
\[F_{\mathrm{gr}}=\gamma \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}\]
\[F_{\mathrm{gr}}=6,674\cdot {10}^{-11}\ \mathrm{\frac{\ Nm^2}{\ {kg}^2}}\cdot \frac{1\ \mathrm{kg}\cdot 6\cdot {10}^{24}\ \mathrm{kg}}{{\left(6,373\cdot {10}^6\ \mathrm{m}\right)}^2}\]
\[F_{\mathrm{gr}}=9,86\ \mathrm{N}\]
Mekkora ehhez képest a legnagyobb centrifugális erő? Mivel a centrifugális erő nagysága a távolsággal egyenesen arányos, és az egyenlítői testek távolsága a legnagyobb, így az Egyenlítőn a legnagyobb:
\[F_{\mathrm{cf}}=m\cdot {\omega }^2\cdot r\]
De előbb ki kell számítanunk a Föld forgása miatti szögsebességét. Azt tudjuk, hogy $24\ \mathrm{óra}$ alatt tesz meg egy teljes fordulatot, vagyis a szögelfordulása $24\ \mathrm{óra}$ alatt $2\pi $.
\[\omega =\frac{\mathit{\Delta}\varphi }{\mathit{\Delta}t}\]
\[\omega =\frac{2\pi }{24\ \mathrm{h}}=\frac{2\pi }{24\cdot 3600\ \mathrm{s}}=7,27\cdot {10}^{-5}\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]
Ez alapján a centrifugális erő az egyenlítői $1\ \mathrm{kg}$‑os testre:
\[F_{\mathrm{cf}}=m\cdot {\omega }^2\cdot r\]
\[F_{\mathrm{cf}}=1\ \mathrm{kg}\cdot {\left(7,27\cdot {10}^{-5}\ \mathrm{\frac{1}{s}}\right)}^{\! 2}\cdot 6,37\cdot {10}^6\ \mathrm{m}\]
\[F_{\mathrm{cf}}=0,0337\ \mathrm{N}\]
Ez bizony
\[\frac{9,86\ \mathrm{N}}{0,0337\ \mathrm{N}}\approx 300\]
tehát a centrifugális erő elég kicsi, a legnagyobb értéke is 300‑szor kisebb, mint a gravitációs erő. Vagyis a testek mozgását sokkal inkább a Föld gravitációs vonzása (és egyéb, annál is nagyobb erők) fogja befolyásolni, ehhez képest a centrifugális erő járuléka csupán néhány ezrelékes korrekció.
Ha méretarányosan akarnánk berajzolni egy ábrába a két erőt, akkor a centrifugális nem látszódna. Így most készítünk egy vállaltan NEM méretarányos ábrát:
Első ránézésre megállapíthatjuk, hogy az Egyenlítőn a centrifugális erő járuléka olyan, hogy "csökkenti" a gravitációs erőt (tehát az Egyenlítőn a testek a mérlegen pár ezrelékkel kevesebbet mutatnak, mint a pólusokon), de az irányát nem változtatja meg. Az Egyenlítő és a pólusok között azonban a két erő nem egyenesre esik, így az eredőjük már nem a Föld középpontja felé mutat. Tehát az alcímben feltett kérdésre a válasz, hogy csak a sarkokon és az Egyenlítőn mutat a függőón a Föld középpontja felé.
Válasszunk ki egy közbülső esetet, és nézzük meg kicsit jobban:
A $\varphi $ szélességi körön lévő test távolságát a forgástengelytől $r$ szimbólummal jelöltük, hisezn a centrifugális erő ettől függ. Mekkora ez az $r$ távolság? Az ábránkat megnézve a $\varphi $ szög megjelenik a testünknél is. A gravitációs erő a középpont felé mutat, így annak meghosszabbítása $r_\mathrm{F}$ hosszú szakaszt ad. Az $r$ távolság így egy derékszögű háromszögben van (sárgával kiemelve), melynek az oldal melletti hegyesszöge $\varphi $, átfogója pedig $r_\mathrm{F}$.
Ez alapján:
\[r=r_{\mathrm{F}}\cdot {\cos{\varphi }\ }\]
Tehát a centrifugális erő nagysága a $\varphi $ szélességi körön:
\[F_{\mathrm{cf}}=m\cdot {\omega }^2\cdot r_{\mathrm{F}}\cdot {\cos{\varphi }\ }\]
Mivel a centrifugális erő a gravitációs erő korrekciója lesz, érdemes őt felbontanunk a gravitációs erővel párhuzamos, és arra merőleges összetevőkre:
Az ábránkon látszik, hogy
\[F_{\mathrm{cf}~\parallel }=F_{\mathrm{cf}}\cdot {\cos{\varphi }\ }\]
Írjuk be ebbe az $F_{\mathrm{cf}}$ centrifugális erőre az imént kapott összefüggést:
\[F_{\mathrm{cf}~\parallel }=m\cdot {\omega }^2\cdot r_{\mathrm{F}}\cdot {\cos{\varphi }\ }\cdot {\cos{\varphi }\ }\]
\[F_{\mathrm{cf}~\parallel }=m\cdot {\omega }^2\cdot r_{\mathrm{F}}\cdot {{\cos}^2 \varphi \ }\]
A centrifugális erő $F_{\mathrm{cf}~\parallel }$ párhuzamos komponense minden szélességi körön ellentétes irányú a gravitációs erővel, így a hatása mindig abban áll, hogy a testre ható eredő erő, vagyis a nehézségi erő mindig kisebb lesz, mint a testre ható gravitációs erő. A centripetális erő $F_{\mathrm{cf}~\parallel }$ komponensének tehát sosincs olyan hatása, hogy a fizikai függőleges (a függőón iránya, vagyis a $g$ nehézségi gyorsulás iránya) nem a Föld középpontja felé mutatna.
A $F_{\mathrm{cf}~\bot }$ komponens mindig merőleges a gravitációs erőre. De mivel csupán pár ezreléke annak, így szinte csak olyan hatása van, hogy a testre ható eredő erő (nehézségi erő) iránya picit el fog térni a testre ható gravitációs erő irányától. Az $F_{\mathrm{cf}~\bot }$ komponens okozza, hogy a fizikai függőleges (függőón iránya, vagyis a $g$ nehézségi gyorsulás iránya) az nem a Föld középpontja felé mutat. De a nehézségi erő nagyságát csak egészen elhanygolható mértékben módosítja. Az ábránkon ugyan pont úgy tűnik, mintha az $F_{\mathrm{cf}~\bot }$ komponens korrekciója lenne nagyobb, de ez amiatt van, mert az ábránk nem méretarányos, nem teljesül rá, hogy a centrifugális erő csupán pár ezreléke a gravitációs erőnek. Ha kicsit méretarányosabb ábrát készítünk, akkor egyből látszik ez:
Térjünk át az erőkről gyorsulásokra, hiszen úgyis egy egységnyi ($1\ \mathrm{kg}$‑os) testre ható erő és az általa okozott gyorsulás ugyanakkora.
A gravitációs vonzás miatti gyorsulást már kiszámoltuk:
\[a_{\mathrm{grav}}=9,86\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}\]
Ennek nagyságát a centrifugális erő vele párhuzamos komponense csökkenti. Az emiatti gyorsulás:
\[a_{\mathrm{cf}~\parallel }={\omega }^2\cdot r_{\mathrm{F}}\cdot {{\cos}^2 \varphi \ }\]
beírva a korábban kiszámolt értéket:
\[a_{\mathrm{cf}~\parallel }=0,0337\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}\cdot {{\cos}^2 \varphi \ }\]
Tehát a nehézségi gyorsulás nagysága:
\[g=a_{\mathrm{grav}}-a_{\mathrm{cf}~\parallel }\]
\[g=9,86\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}-0,0337\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}\cdot {{\cos}^2 \varphi \ }\]
Az egyenlítői "kidudurodás"
A mérések szerint a nehézségi gyorsulásban azonban ennél kb. másfélszer nagyobb a szögfüggő tag:
\[g=9,86\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}-0,052\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}\cdot {{\cos}^2 \varphi \ }\]
Ennek az az oka, hogy a Föld sugara a $\varphi $ szög növekedésével (vagyis az Egyenlítőtől a sarkok felé) csökken. Ugyanis a centrifugális erő az Egyenlítőnél a legnagyobb, ennek eredményeként ott "kidudorodik" a Föld, a sarkoknál viszont nem, mert ott a centrifugális erő nulla.
Hirtelen felmerülhet bennünk, hogy vajon a két effektus egymást erősíti, vagy egymás ellen hatnak? Mindenhol erősítik egymást. Ez nem véletlen, hiszen mindkettő mögött a centrifugális erő munkálkodása áll. Az Egyenlítőn egyrészt azért kisebb a nehézségi gyorsulás, mert távolabb van a Föld tömegközéppontjától, így a gravitációs erő ott a legkisebb. Másrészt azért, mert az Egyenlítőn a legnagyobb a centrifugális erő gravitációs erővel párhuzamos komponense, ami kivonódik belőle.
Létezik még pontosabb (és terészetesen bonyolultabb) formulák is, amik megadják a nehézségi gyorsulás értékét a szélességi fok függvényében.
Végül a nehézségi gyorsulások közelítő értékei:
| Hely | \(g\) |
| Egyenlítő | \(\displaystyle 9,78\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}\) |
| Budapest | \(\displaystyle 9,81\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}\) |
| Pólusok | \(\displaystyle 9,83\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}\) |
| "normál" | \(\displaystyle 9,80665\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}\) |
A "normál g" (más néven standard vagy szternderd, azaz szabványos nehézségi gyorsulás) a 45. földrajzi szélességi körön a tengerszint magasságában mérhető nehézségi gyorsulás értéket jelenti.