A)  Az izzó fényereje nő. 

 B)  Az izzó fényereje nem változik.

 C)  Az izzó fényereje csökken. 

 A)  Az izzó fényereje nő. 

 B)  Az izzó fényereje nem változik.

 C)  Az izzó fényereje csökken. 

Nézzünk először egy tipikus, hibás gondolatmenetet, hiszen a hibákból nagyon sokat lehet tanulni (mások hibáiból pedig még élvezetes is).

Gondolhatnánk, hogy az 1-es izzó és az \(R\) ellenállás "egymással sorban vannak kapcsolva", emiatt a forrás teljes \(U\) feszültsége a kettejükön fog leesni, méghozzá az ellenállásaik arányában. Márpedig az ellenállások nem változnak a folyamat során, így az ő arányuk sem változik, ezért a 2-es izzó kiégése után ugyanannyiad része fog jutni az 1-es izzóra az \(U\) forrásfeszültségnek, mint az elején, tehát az izzóm fénye nem változik.

Mi a hiba a gondolatmenetben?

Az, hogy az 1-es izzó nincs soros kapcsolásban az \(R\) ellenállással. Hiszen ő úgy van az \(R\) ellenállással, mint a facebookfüggő emberi roncsok a "hivatalosan" szerelmespárjukkal: bonyolult kapcsolatban vannak, azaz se így, se úgy. Az 1-es izzó nincsen sem sorosan kapcsolva az R ellenállással, sem párhuzamosan. Emiatt a fenti gondolatmenet már az első lépésnél félre csúszik, úgyhogy kuka az egész.    
 

 1. megoldás (az 1-es izzóra eső feszültség végiggondolásával) 

Gondoljuk végig, hogy az 1-es izzóra eső feszültség a 2-es kiégése után mekkora lesz, mármint a kezdeti értékhez viszonyítva! Ugyanis ha egy izzóra jutó feszültség megnő, akkor az nagyobb áramot fog átfolyatni az izzón, amitől az izzó $P$ teljesítménye mindenképpen meg kell hogy nőjön, hiszen a teljesítmény:

$$P=U\cdot I$$

Ugyanígy végiggondolva, ha a rá jutó feszültség lecsökken, akkor az kisebb áramot fog áthajtani rajta, így a teljesítményének is muszáj lesz csökkennie.

Vagyis ha kiderítjük, hogy az 1-es izzóra mekkora feszültség jut majd a végén (az eredetleg rá esőhöz képest), azzal meg tudjuk válaszolni, hogy a teljesítménye hogyan alakul.

Kezdetben van két, párhuzamosan kapcsolt izzónk, amikre tekinthetünk egy kisebb rendszerként (nekik kettejüknek is van már eredő ellenállásuk). Ez a két izzóból álló rendszer sorba van kapcsolva az $R$ ellenállással. A három tag alkot egy nagyobb rendszert. Soros kapcsolásnál tudjuk, hogy az egészre kapcsolt feszültség szétoszlik a sorba kapcsolt szereplőkön, méghozzá az ellenállásuk arányában:    
 

Nézzük a mostani elrendezésünket:  
 

Az egészre kapcsolt $U$ feszültség egy része kezdetben a párhuzamosan kötött két izzó rendszerén esik, a többi (az $U$ feszültségből a "maradék") pedig az $R$ ellenálláson. Hogy az egész $U$ feszültségnek hányad része esik az egyik illetve másik soros tagon, az az ellenállásaiktól függ, jelen esetben attól, hogy a párhuzamosan kötött két izzó eredő ellenállása hogyan viszonyul a velük sorba lévő $R$ ellenálláshoz.

De minket most nem az érdekel, hogy kezdetben az egész $U$ feszültségnek konkrétan hányadrésze jut az izzókra és hányad része az $R$ ellenállásra. Hanem csak az, hogy a 2-es izzó kiégésétől az 1-es izzóra eső feszültség vajon megváltozik-e, ha igen, megnő-e vagy lecsökken.

Ehhez az ellenállások arányait kell végiggondolnunk. Kezdetben "az áramkör bal felén" két izzó van párhuzamosan kötve. Tudjuk, hogy a párhuzamosan kötött tagok eredő ellenállása mindig kisebb, mint bármelyik tagjuk ellenállása. Vagyis kezdetben a 2 izzó eredő ellenállása biztosan kisebb, mint a kiégés után egyedül maradó 1-es izzó ellenállása. Vagyis a "bal félen lévő", "izzókat tartalmazó szakasz" ellenállása a kiégés hatására megnő. Eközben az $R$ ellenállás nem változik. Vagyis az izzós szakasznak az $R$ ellenálláshoz viszonyított relatív ellenállása megnő. Emiatt a kiégés után az egész $U$ feszültségnek már nagyobb része fog az izzós szakaszra jutni, mint amennyi kezdetben jutott rá. Tehát a megmaradó 1-es izzóra a végén nagyobb feszültség fog jutni, mint amekkora kezdetben jutott. A nagyobb feszültség miatt pedig a teljesítménye megnő.

Ennek végiggondolására az emelt szintű érettségi 4 órás időtartama alatt (ha nem is bőségesen, de azért) van idő.    
 

 2. általános levezetés (mélyebben érdeklődők számára) 

Próbáljuk meghatározni, hogy az 1-es izzón átfolyó áram változik-e a 2-es kiégésétől, ha igen, akkor hogyan. Ugyanis ha az izzón átfolyó áram megnő, az csak attól lehetséges, hogy nagyobb feszültséget kapott, mint eddig. Márpedig a nagyobb feszültség és nagyobb áram

$$P=U\cdot I$$

alapján egyértelműen nagyobb teljesítményt jelent.

Az 1. megoldásban már végiggondoltuk, hogy az izzós szakasz eredő ellenállása a 2-es kiégésétől megnő. Emiatt az egész rendszer (az izzós szakasz sorba kötve az \(R\) ellenállással) eredő ellenállása is megnő, így a főágban folyó áram erőssége lecsökken.

Kezdetben a főág árama a két izzón szétoszlik, például azonos izzók esetén fele-fele arányban. A végén a főág (immár kisebb) árama teljesen az 1-es izzón folyik át. Ez alapján azonban nem tudjuk eldönteni, hogy melyik nagyobb: a kezdeti (nagyobb) főági áram egy része, vagy a későbbi (kisebb) főági áram egésze. Ehhez konkrétabban meg kell vizsgálni, hogy pontosan milyen mértékben változik a főág árama a 2-es izzó kiégésétől, illetve kezdetben hányadrésze folyt a főágá áramának az 1-es izzón.

Az izzók eredő ellenállása:

$$R_{e,i}={{R_1\cdot R_2}\over {R_1+R_2}}$$

Ehhez még hozzájön az $R$ ellenállás sorosan, így a teljes eredő ellenállás:

$$R_e=R_{e,i}+R$$

$$R_e={{R_1\cdot R_2}\over {R_1+R_2}}+R$$

Mekkora áramot indít meg az $U$ feszültség a főágban?

$$I={{U}\over {R_e}}$$

$$I={{U}\over {\displaystyle {{R_1\cdot R_2}\over {R_1+R_2}}+R}}$$

$$I={{U}\over {\displaystyle {{R_1\cdot R_2}\over {R_1+R_2}}+{\displaystyle  {R\cdot \left(R_1+R_2\right)}\over {R_1+R_2}}}}$$

$$I={{U}\over {\displaystyle {{R_1\cdot R_2}\over {R_1+R_2}}+{\displaystyle {R\cdot R_1+R\cdot R_2}\over {R_1+R_2}}}}$$

$$I={{U}\over {\displaystyle {{R_1\cdot R_2+R\cdot R_1+R\cdot R_2}\over {R_1+R_2}}}}$$

$$I={{U\cdot \left(R_1+R_2\right)}\over {R_1\cdot R_2+R\cdot R_1+R\cdot R_2}}$$

Mi azt szeretnénk tudni, hogy az 1-es izzón mekkora áram folyi. A főági $I$ áram egyik része átfolyik az 1-es izzón, a többi (maradák) a 2-es izzón:

$$I=I_1+I_2$$

Párhuzamos kapcsolásnál az egyes ágakban folyó áramok az ágak ellenállásaival fordítottan arányosak:

$${{I_1}\over {I_2}}={{R_2}\over {R_1}}$$

$$I_1={{R_2}\over {R_1}}\cdot I_2$$

Írjuk be az $I_2$ helyére, hogy ő mennyi, az előző egyenletből kifejezve:

$$I_2=I-I_1$$

$$I_1={{R_2}\over {R_1}}\cdot \left(I-I_1\right)$$

$$I_1={{R_2}\over {R_1}}\cdot I-{{R_2}\over {R_1}}\cdot I_1$$

$$I_1+{{R_2}\over {R_1}}\cdot I_1={{R_2}\over {R_1}}\cdot I$$

$$I_1\cdot \left(1+{{R_2}\over {R_1}}\right)={{R_2}\over {R_1}}\cdot I$$

$$I_1={\displaystyle {{{R_2}\over {R_1}}\cdot I}\over \displaystyle {1+{{R_2}\over {R_1}}}}$$

$$I_1={\displaystyle {{{R_2}\over {R_1}}\cdot I}\over \displaystyle {{{R_1}\over {R_1}}+{\displaystyle {R_2}\over {R_1}}}}$$

$$I_1={\displaystyle {{{R_2}\over {R_1}}\cdot I}\over \displaystyle {{{R_1+R_2}\over {R_1}}}}$$

$$I_1={\displaystyle {R_2\cdot I}\over {R_1+R_2}}$$

Írjuk be, hogy mennyi a főági áram:

$$I_1={{R_2}\over {R_1+R_2}}\cdot {{U\cdot \left(R_1+R_2\right)}\over {R_1\cdot R_2+R\cdot R_1+R\cdot R_2}}$$

$$I_1={{U\cdot R_2}\over {R_1\cdot R_2+R\cdot R_1+R\cdot R_2}}$$

Ez tehát az 1-es izzó árama kezdetben. Meg kell néznünk, hogy a végén mennyi áram folyik az 1-es izzón, és ezzel kell összehasonlítanunk. Jelölje felső vessző a végső esetet!

A végén egyszerű a helyzet, hiszen csak az 1-es izzónk van sorbakötve az $R$ ellenálással. Ezek eredője:

$$R_{er}'=R_1+R$$

Ez mekkora áramot indít meg?

$$I'={{U}\over {R_{er}'}}$$

$$I'={{U}\over {R_1+R}}$$

Ez teljes egészében átfolyik az 1-es izzón, ezért

$$I_1'={{U}\over {R_1+R}}$$

Azt kellene kiderítenünk, hogy változott-e az 1-es izzó árama:

$$I_1\lesseqgtr I_1'$$

$${{U\cdot R_2}\over {R_1\cdot R_2+R\cdot R_1+R\cdot R_2}}\lesseqgtr {{U}\over {R_1+R}}$$

Az $U$ feszültség pozitív, ezért vele leosztva nem változik a reláció:

$${{R_2}\over {R_1\cdot R_2+R\cdot R_1+R\cdot R_2}}\lesseqgtr {{1}\over {R_1+R}}$$

A bal oldalon osszuk el a számlálót és a nevezőt az $R_2$ ellenállással:

$${{1}\over {R_1+{\displaystyle {R\cdot R_1}\over \displaystyle {R_2}}+R}}\lesseqgtr {{1}\over {R_1+R}}$$

A két oldal csupán a bal oldal nevezőjében lévő $\displaystyle {{R\cdot R_1}\over {R_2}}$ kifejezésben különbözik. Mivel az ellenállások mind pozitív értékűek, ezért ez a kifejezés mindenképpen pozitív előjelű:

$${{R\cdot R_1}\over {R_2}}>0$$

A bal oldalon lévő tört nevezője így (az azonos számlálo miatt) mindenképp nagyobb, mint a jobb oldalon lévő tört nevezője:

$$R_1+{{R\cdot R_1}\over {R_2}}+R>R_1+R$$

így a bal oldali tört biztosan kisebb, mint a jobb oldali tört:

$$I_1

Vagyis az 1-es izzón áfolyó áram mindenképpen megnő a 2-es kiégésétől.