Az amerikai légierő A-10 Thunderbolt II nevű (magyarul villámcsapás, becenevén Warthog azaz varacskosdisznó) tankelhárító repülőgépe 2 db hajtóművel rendelkezik, melyek egyenként $40\ \mathrm{kN}$ tolóerőt biztosítanak, maximális felszállótömege $23\ \mathrm{tonna}$. Fő fegyverzete a GAU-8 Avenger típusú hétcsövű gépágyú, mely a gép orrában helyezkedik el, 3900 lövéses percenkénti tűzgyorsaságra képes (bár a tárba "csak" 1350 lőszer fér, ezért tipikusan 10-20 lövéses rövid sorozatokkal tüzelnek vele). Egy lövedék $30\ \mathrm{mm}$ átmérőjű és $173\ \mathrm{mm}$ hosszú, a tömege $395\ \mathrm{gramm}$ (a lövedék a közepén egy $301,3\ \mathrm{grammos}$ szegényített urán mag van, mert annak sűrűsége \(19,1\ \mathrm{\displaystyle \frac{g}{cm^3}}\), ami még az óloménál is $67\%$-kal nagyobb). A lövedékek a gépágyú csövéből \(3324\ \mathrm{\displaystyle \frac{ft}{s}}\) sebességgel lépnek ki (\(\mathrm{\displaystyle \frac{ft}{s}}=\mathrm{feet\ per\ second}\), azaz $1$ láb másodpercenként; \(1\) láb\(=30,48\ \mathrm{cm}\)).
Ezek a nagy tömegű és nagy sebességű lövedékek már áthatolnak a páncélozott járművek (tankok) vastag acéllemezein is, mint kés a vajon:
a) Mekkora reakcióerő ébred a gépágyú tüzelésekor?
\(F=26\ 008\ \mathrm{N}\approx 26\ \mathrm{kN}\)
Az $F$ reakcióerő azért ébred, mert a fegyverben fel kell gyorsítani a lövedékeket a kezdeti nulla sebességről a hatalmas csőtorkolati sebességre, márpedig a gyorsulás oka mindig valamilyen erő. Induljunk ki Newton II. törvényéből:
\[F=m\cdot a\]
A gyorsulás definíciója:
\[a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\]
Ezt beírva:
\[F=m\cdot \frac{\Delta v}{\Delta t}\]
Tehát ki kell számítanunk, hogy összesen mekkora tömegű lövedéket, mekkora sebességnövekedésre kényszerít rá a fegyver, és ezek szorzatát el kell osztani az ezalatt eltelt idővel.
Nézzük először a tömeget! Percenként 3900 lövedék távozhatna, ennek tömege:
\[m=3900\cdot 395\ \mathrm{g}\]
\[m=3900\cdot 0,395\ \mathrm{kg}\]
\[m=1540,5\ \mathrm{kg}\]
A sebességváltozás:
\[\Delta v=3324\ \mathrm{\frac{feet}{s}}\]
Váltsuk át ezt az SI mértékegységrendszernek megfelelő \(\displaystyle \mathrm{\frac{m}{s}}\) egységbe:
\[1\ \mathrm{feet}=30,48\ \mathrm{cm}\]
\[1\ \mathrm{feet}=0,3048\ \mathrm{m}\]
\[\Delta v=3324\cdot \mathrm{\frac{0,3048\ m}{s}}\]
\[\Delta v=1013\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
Az elteli időnk ezalatt \(1\ \mathrm{perc}\):
\[\Delta t=1\ \mathrm{min}=60\ \mathrm{s}\]
Az adatokat beírva az eredeti egyenletünkbe:
\[F=m\cdot \frac{\Delta v}{\Delta t}\]
\[F=1540,5\ \mathrm{kg}\cdot \frac{1013\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}}{60\ \mathrm{s}}\]
\[F=26\ 008\ \mathrm{N}\approx 26\ \mathrm{kN}\]
Ez a reakcióerő egy \(2,6\) tonnás test súlyának felel meg, és a két hajtómű együttes \(80\ \mathrm{kN}\) tolóerejének közel harmada!
b) Mekkora lassulást okoz a repülőgépnek a gépágyús tüzelés, ha épp most szállt fel maximális felszállótömeggel?
\(a=1,13\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s^2}}\)
Induljunk ki megint Newton II. törvényéből!
\[F=m\cdot a\]
Csak most az $m$ a repülőgép tömegét jelenti. Írjuk be az adatainkat:
\[26\ 008\ \mathrm{N}=23\ \mathrm{tonna}\cdot a\]
\[26\ 008\ \mathrm{N}=23\ 000\ \mathrm{kg}\cdot a\]
\[a=\frac{26\ 008\ \mathrm{N}}{23\ 000\ \mathrm{kg}}\]
\[a=1,13\ \mathrm{\frac{\displaystyle \frac{kg\cdot m}{s^2}}{kg}}\]
\[a=1,13\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]