Gyakorlott vezetőknek is hasznos, ha elmennek olyan tesztpályára, ahol sokféle útviszony (vizes, kavicsos, homokos, göröngyös) esetén próbálhatják ki biztonságos körülmények között, hogyan viselkedik az autó, ha a megszokott, érdes aszfalt helyett "más van alattuk".
a) Mekkora út megtételével áll meg "satufékkel" (ABS, tehát blokkolásgátló nélkül) az autó \(60\ \mathrm{\displaystyle \frac{km}{h}}\) kezdősebességről száraz aszfalton? A gumi és az aszfalt közötti csúszási súrlódási együttható száraz aszfalton \( \mu_s \approx 0,65\) értékű (természetesen aszfaltból is sokféle van, ezért nincs pontos érték).
\(\displaystyle s=21,37\ \mathrm{m}\)
A megtett utat a négyzetetes úttörvényból számíthatjuk ki:
\[s=\frac{a}{2}\cdot (\Delta t)^2\]
ugyanis ugyannnyi utat tesz meg a test, ha egyenletesen lassulva teljesen megáll, mint amikor álló helyzetből egyenletesen felgyorsul. Tehát tudnunk kéne a gyorsulást és az eltelt időt.
Vízszintes irányban mindkét esetben egyedül a csúszási súrlódási erő hat az autóra, ez fogja okozni a vízszintes gyorsulását:
\[F_{\mathrm{s}}=m\cdot a\]
\[a=\frac{F_{\mathrm{s}}}{m}\]
Ehhez felhasználjuk, hogy a csúszási súrlódási erőnek van erőtörvénye:
\[F_{\mathrm{s}}=\mu_{\mathrm{s}}\cdot F_{\mathrm{ny}}\]
A nyomóerő azonos nagyságú az \(mg\) nehézségi erővel, mert az autó függőlegesen nem gyorsul, így a függőleges erőknek ki kell oltaniuk egymást:
\[F_{\mathrm{s}}=\mu_{\mathrm{s}}mg\]
Ezt beírva a gyorsulás megkapható:
\[a=\frac{F_{\mathrm{s}}}{m}\]
\[a=\frac{\mu_{\mathrm{s}}mg}{m}\]
\[a=\mu_{\mathrm{s}}g\]
Ezek alapján száraz aszfalton a gyorsulás:
\[a=0,65\cdot g\]
\[a=6,5\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
A kérdéses \(s\) úthoz tudnunk kell még a \(\Delta t\) időt is. Mennyi idő alatt lassul le nullára a kezdeti sebességről? Ezt a gyorsulás definíciójával kiszámoljuk:
\[a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\]
\[\Delta t=\frac{\Delta v}{a}\]
A sebességváltozásunk nagysága:
\[\Delta v=60\ \mathrm{\frac{km}{h}}=\frac{60}{3,6}\ \mathrm{\frac{m}{s}}=16,67\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
Mindkét adatot SI-egységben beírva az eltelt időbe:
\[\Delta t=\frac{\Delta v}{a}\]
\[\Delta t=\frac{16,67}{6,5}\]
\[\Delta t=2,56\ \mathrm{s}\]
Az eredményeket beírva a megtett út egyenletébe:
\[s=\frac{a}{2}\cdot (\Delta t)^2\]
\[s=\frac{6,5}{2}\cdot (2,56)^2\]
\[s=21,37\ \mathrm{m}\]
b) Mekkora út megtételével áll meg "satufékkel" (ABS, tehát blokkolásgátló nélkül) az autó \(60\ \mathrm{\displaystyle \frac{km}{h}}\) kezdősebességről vizes aszfalton? A gumi és az aszfalt közötti csúszási súrlódási együttható vizes úton \(\mu_s \approx 0,3\).
\(s=46,3\ \mathrm{m}\)
Teljesen ugyanazt a levezetéset használhatjuk, csak a csúszási súrlódási együttható lesz más, illetve emiatt minden további érték.
A megtett utat a négyzetetes úttörvényból számíthatjuk ki:
\[s=\frac{a}{2}\cdot (\Delta t)^2\]
ugyanis ugyannnyi utat tesz meg a test, ha egyenletesen lassulva teljesen megáll, mint amikor álló helyzetből egyenletesen felgyorsul. Tehát tudnunk kéne a gyorsulást és az eltelt időt.
Vízszintes irányban mindkét esetben egyedül a csúszási súrlódási erő hat az autóra, ez fogja okozni a vízszintes gyorsulását:
\[F_{\mathrm{s}}=m\cdot a\]
\[a=\frac{F_{\mathrm{s}}}{m}\]
Ehhez felhasználjuk, hogy a csúszási súrlódási erőnek van erőtörvénye:
\[F_{\mathrm{s}}=\mu_{\mathrm{s}}\cdot F_{\mathrm{ny}}\]
A nyomóerő azonos nagyságú az \(mg\) nehézségi erővel, mert az autó függőlegesen nem gyorsul, így a függőleges erőknek ki kell oltaniuk egymást:
\[F_{\mathrm{s}}=\mu_{\mathrm{s}}mg\]
Ezt beírva a gyorsulás megkapható:
\[a=\frac{F_{\mathrm{s}}}{m}\]
\[a=\frac{\mu_{\mathrm{s}}mg}{m}\]
\[a=\mu_{\mathrm{s}}g\]
Ezek alapján vizes aszfalton a gyorsulás:
\[a=0,3\cdot g\]
\[a=3\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
A kérdéses \(s\) úthoz tudnunk kell még a \(\Delta t\) időt is. Mennyi idő alatt lassul le nullára a kezdeti sebességről? Ezt a gyorsulás definíciójával kiszámoljuk:
\[a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\]
\[\Delta t=\frac{\Delta v}{a}\]
A sebességváltozásunk nagysága:
\[\Delta v=60\ \mathrm{\frac{km}{h}}=\frac{60}{3,6}\ \mathrm{\frac{m}{s}}=16,67\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
Mindkét adatot SI-egységben beírva az eltelt időbe:
\[\Delta t=\frac{\Delta v}{a}\]
\[\Delta t=\frac{16,67}{3}\]
\[\Delta t=5,56\ \mathrm{s}\]
Az eredményeket beírva a megtett út egyenletébe:
\[s=\frac{a}{2}\cdot (\Delta t)^2\]
\[s=\frac{3}{2}\cdot (5,56)^2\]
\[s=46,3\ \mathrm{m}\]