a)  Ha nem lenne légkör (és emiatt nem lenne légellenállás sem), akkor mennyi idő múlva érne vissza a földfelszínről függőlegesen fellőtt lövedék a kiindulási helyére?

\(\Delta t_{\mathrm{ö}}=143\ \mathrm{s}\)

Amikor a lövedék elhagyja a fegyver csövét, onnantól kezdve szabadesést végez, vagyis a gyorsulása a

\[g=10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]

nehézségi gyorsulás, aminek iránya mindig lefelé van.

A függőleges tengely mentén vegyük pozitív ránynak a felfelé mutató irányt! Ez esetben a lövedék gyorsulása (mivel a lefelé mutató nehézségi gyorsulás ezzel ellentétes irányú) negatív előjelű:

\[a=g=-10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]

A lövedék kezdősebessége felfelé mutat, emiatt pozitív előjelű:

\[v_0=715\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]

 1. megoldás 

A lövedék addig halad felfelé, amíg meg nem áll, vagyis a sebessége

\[v_1=0\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]

lesz. Nézzük csak ezt, a tetőpontig tartó szakaszt (legyen ez az 1-es alsó indexű szakaszunk)!  Ezen a szakaszon a sebességváltozása:

\[\Delta v_1=v_1-v_0\]

\[\Delta v_1=0\ \mathrm{\frac{m}{s}}-715\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]

\[\Delta v_1=-715\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]

Írjuk fel a gyorsulás definícióját:

\[a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\]

A mostani esetben mindez:

\[g=\frac{\Delta v_1}{\Delta t_1}\]

\[-10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}=\frac{-715\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}}{\Delta t_1}\]

\[\Delta t_1=71,5\ \mathrm{s}\]

Vagyis a lövedék 71,5 másodpercen át halad felfelé. (Fejszámolással azt is mondhattuk volna, hogy az, hogy a nehézségi gyorsulás nagysága \(10\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s^2}}\), ez azt jelenti, hogy másodpercenként \(10\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\)-mal változik a sebesség, ezért a kezdeti \(715\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\) sebesség 71,5 másodperc alatt "fogy majd el".)

Vajon visszafelé ugyanennyi ideig tart majd a lövedék mozgása? Ugyan rávághatjuk, hogy "igen, biztosan", de inkább gondoljuk végig (bizonyítsuk be). Ábrázoljuk sebesség-idő dagramon a folyamatot! Pozitív kezdősebességről lelassul nullára, majd (visszafelé zuhanva) egyre nagyobb értékű negatív sebességgel halad a lövedék:

Most még nem tudjuk, hogy a visszafelé zajló szakasz ugyanannyi ideig tart-e, mint a felfelé tartó, emiatt jelöljük az eltelt idejét \(\Delta t_2\)-vel! Ennyi idő alatt egyenletes \(a\) gyorsulás esetén a sebesség \(a\cdot \Delta t_2\) nagysággal változik:

Tudjuk, hogy a két, kék színű területnek, mint megtett utaknak azonosnak kell lenni, hiszen ugyanoda jut vissza a lövedék. A kék színű háromszögek területei:

\[\frac{\Delta t_1\cdot \left(a\cdot \Delta t_1\right)}{2}=\frac{\Delta t_2\cdot \left(a\cdot \Delta t_2\right)}{2}\]

\[\Delta t_1\cdot \left(a\cdot \Delta t_1\right)=\Delta t_2\cdot \left(a\cdot \Delta t_2\right)\]

\[a\cdot \left(\Delta t_1\right)^2=a\cdot \left(\Delta t_2\right)^2\]

\[\left(\Delta t_1\right)^2=\left(\Delta t_2\right)^2\]

\[\Delta t_1=\Delta t_2\]

Az ábránkon ezt jelezve:

A két kék színű háromszög egybevágó, hiszen a szögeik azonosak és aaz egyik oldala (a \(\Delta t\) oldal) is azonos, így a többi oldaluk is azonos. Emiatt a folyamat végére ugyankkora, csak ellentétes irányú sebességre tesz szert a lövedék, vagyis ugyanakkora sebességgel ér vissza, mint amekkorával fellőtték:

Márpedig ha azonos ideig tart a "visszazuhanás", mint a felfelé haladás, akkor a teljes eltelt idő kiszámításához a felfelé haladás idejét be kell szorozni 2-vel:

\[\Delta t_\textit{ö}=2\cdot \Delta t_1\]

\[\Delta t_\textit{ö}=2\cdot 71,5\ \mathrm{s}\]

\[\Delta t_\textit{ö}=143\ \mathrm{s}\]
 

 2. megoldás 

Ha később, a mechanikai energiák megmaradása miatt tudjuk, hogy a lövedék sebessége a visszaérkezéskor meg kell egyezzen a kezdeti, indulási sebeséggel, akkor azt mondjuk, a folyamat legvégén a sebesség \(715\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\) és lefelé irányuló, vagyis negatív előjelű:

\[v_2=-715\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]

Írjuk fel most a sebesség időfüggését egyenletesen gyorsuló mozgásra:

\[v=v_0+a\cdot \Delta t\]

A kezdősebességünk felfelé van, tehát pozitív:

\[v_0=715\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]

a gyorsulásunk pedig a \(g\) nehézségi gyorsulás, ami a lefelé iránya miatt negatív:

\[a=-10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]

Mindent beírva:

\[v_2=v_0+g\cdot \Delta t_\textit{ö}\]

\[-715\ \mathrm{\frac{m}{s}}=715\ \mathrm{\frac{m}{s}}-10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\cdot \Delta t_\textit{ö}\]

\[10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\cdot \Delta t_\textit{ö}=1430\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]

\[\Delta t_{\mathrm{ö}}=143\ \mathrm{s}\]

b)  Légkör (azaz légellenállás) hiányában milyen magasra lehetne fellőni a földfelszínről az AK-47-tel?

\(s=25\ 561,25\ \mathrm{m}\approx 25,56\ \mathrm{km}\)

1. megoldás

Vajon vehetjük-e egyenletesen lassulónak a lövedék felfelé mozgását? Ehhez az kell, hogy a gyorsulása (ami \(g\) nehézségi gyorsulás), állandó legyen. Ez  - majd később látni fogjuk - akkor teljesül, ha a folyamat során lényegében állandó távolságra van a lövedék a Föld tömegközéppontjától. Mivel kezdetben kb. \(6370\ \mathrm{km}\) távolságra van, így még ha  \(6370\ \mathrm{km}\) magasra is lőnénk fel, még akkor is csak \(1\%\)-kal módosulna az egymást gravitációsan vonzó testek távolsága, így jó közelítéssel állandónak vehető a \(g\) negézségi gyorsulás.

Amikor egy test a kezdősebességéről egyenletesen lassulva megáll, ezalatt pont annyi utat tesz meg, mintha nulláról indulva a kezdősebességére gyorsult volna fel. Ugyanis nézzük a két folyamatot sebesség-idő $(v \thinspace\unicode{x2013}\thinspace t)$ diagramon:

A függvények görbéi (amik jelen esetben egyenesek) alatti területek azonosak.

Ezért a kezdősebességes lassuló mozgás útjának számítása helyett számolhatunk az ennél egyszerűbb (de azonos eredményre vezető) kezdősebesség nélküli gyorsuló mozgás útjával:

\[s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot {\left(\Delta t\right)}^2\]

Az előbb már kiszámoltuk a \(\Delta t\) eltelt időt:

\[\Delta t=71,5\ \mathrm{s}\]

és a gyorsulást is tudjuk, hogy az a \(g\) nehézségi gyorsulás:

\[a=g=10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]

(amiatt nincs most negatív előjele, mert a lasuló mozgás helyett egy vele azonos utat adó gyorsuló mozgást számolunk).

Beírva az adatokat:

\[s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot {\left(\Delta t\right)}^2\]

\[s=\frac{1}{2}\cdot 10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\cdot {\left(71,5\ \mathrm{s}\right)}^2\]

\[s=25\ 561,25\ \mathrm{m}\approx 25,56\ \mathrm{km}\]

2. megoldás

Ha nem jövünk rá a fenti analógiára, akkor sincs baj. Van úttörvény kezdősebességes, egyenletesen gyorsuló mozgásra, ami azt mondja, hogy a megtett út "összerakható" egy \(v_0\) sebességű egyenletes mozgásból és egy kezdősebesség nélküli gyorsuló mozgásból. Vagyis ezek útjait kell "összetenni":

\[s=v_0\cdot \Delta t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot {\left(\Delta t\right)}^2\]

Ügyelnünk kell az előjelekre, hiszen nem minden azonos irányú, így nem minden azonos előjelű. A \(v_0\) kezdősebességünk felfelé van, így az pozitív:

\[v_0=715\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]

Azonban a gyorsulásunk lefelé van, így az negatív:

\[a=g=-10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]

az eltelt időt pedig az előző kédrdésben kiszámoltuk:

\[\Delta t=71,5\ \mathrm{s}\]

Beírva ezeket:

\[s=v_0\cdot \Delta t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot {\left(\Delta t\right)}^2\]

\[s=715\ \mathrm{\frac{m}{s}}\cdot 71,5\ \mathrm{s}+\frac{1}{2}\cdot \left(-10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\right)\cdot {\left(71,5\ \mathrm{s}\right)}^2\]

Mivel minden SI egységben van, elhagyhatjuk a mértékegységeket:

\[s=715\cdot 71,5+\frac{1}{2}\cdot \left(-10\right)\cdot {\left(71,5\right)}^2\]

\[s=51\ 122,5-5\cdot 5112,25\]

\[s=25\ 561,25\ \mathrm{m}\approx 25,56\ \mathrm{km}\]

A légellenállás hatása az ilyen nagy sebességű lövedékek esetén igen jelentős, mivel a légellenállási erő a sebesség négyzetével arányos. Emiatt a AK-47‑tel a fenti értéknek csak kb. a tizedrészéig, úgy \(2,5\ \mathrm{km}\) magasságig lehet fellőni.