a)  Becsüljük meg, hogy kb. mennyi idő múlva csökken a tömegközéppontjaik távolsága a felére a köztük lévő gravitáció miatt!

kb. 9 óra múlva

Legyen az űrhajósok tömege \(m_1\) és \(m_2\).

Az 1‑es űrhajósra ható erő:

\[F_{\mathrm{gr}}=f\cdot \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}\]

Ennek hatására az 1‑es űrhajós gyorsulása

\[a=\frac{F}{m}\]

alapján:

\[a_1=\displaystyle \frac{f\cdot \displaystyle \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}}{m_1}\]

\[a_1=f\cdot \frac{m_2}{r^2}\]

Sajnos ennek a gravitációs erőnek a nagysága folyamatosan változik, méghozzá nem is egyszerűen (a távolsággal arányosan), hanem a távolság négyzetével fordított arányosan. A pontos leíráshoz integrálszámítás szükséges, de mi most csak becslést akarunk végezni. Így megelégszünk azzal, hogy úgy vesszük, mintha a kezdeti gyorsulással mozozgna végig. A kezdeti gyorsulás a 2 méteres távolság alapján:

\[a_1=f\cdot \frac{m_2}{r_1^2}\]

\[a_1=6,6\cdot 10^{-11}\cdot \frac{120\ \mathrm{kg}}{(2\ \mathrm{m})^2}\]

\[a_1=2\cdot 10^{-9}\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]

Ekkora gyorsulással 1 métert mennyi idő alatt tesz meg a test? Használjuk a négyzetes úttörvényt:

\[s=\frac{1}{2}a\cdot {(\Delta t)}^2\]

\[1\ \mathrm{m}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 10^{-9}\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\cdot {(\Delta t)}^2\]

\[\Delta t=31\ 600\ \mathrm{s}\]

ami kevesebb mint 9 órát jelent. Sőt, ez két dolog miatt is rövidebb lesz:

• a gyorsulás a kezdeti pillanattól kezdve mindvégig nagyobb lesz a fent számítottnál, mert hogy az űrhajós közeledik a társához
• a gyorsulás a kezdeti pillanattól kezdve mindvégig nagyobb lesz a fent számítottnál, mert a társa is közeledik hozzá!