Két pontszerű test rugalmas ütközéseit fogjuk kivesézni (vagyis két kiterjed test centrális, rugalmas ütközését).
Általános levezetés
Jelöljük úgy a mennyiségeket, hogy az egyik test (mondjuk a balról érkező) legyen az 1-es, a másik test (a jobbról érkező) pedig pedig a 2-es. Ez alapján a tömegek \(m_1\) és \(m_2\) jelűek lesznek. Továbbá az ütközés előtti sebességeket mindkét testnél jelölje \(v\) betű (azaz a kezdősebességek \(v_1\) és \(v_2\)), az ütközés utáni sebességeket pedig mindkét testnél jelölje \(u\) betű (azaz a végső sebességek \(u_1\) és \(u_2\), mert ez hasonlít a \(v\)-re, de arra is utal, hogy ezek az ütközés "utáni" sebességek, és így nem kell további indexeket használni, vagy "vesszős" mennyiségeket bevezetni).
Az ábrán a sebességvektorok irányait nem kell komolyan venni, hiszen a tárgyalásunk teljesen általános lesz, vagyis nemcsak olyan eseteket fed majd le, amikor a földi megfigyelő szerint kezdetben a testek =balról és jobbról" közelítenek egynáshoz, hanem például azt is, amikor az egyik test "üldözi" a másikat, míg utoléri. Ugyanígy az ütközlés utáni sebességvektorok irányát sem kell komolyan venni, hiszen jól tudjuk, hogy ütközés után nem feltétlenül "ugranak szét" a testek (gondoljunk az ember testébe illetve homokzsákba befúródó, és abban megálló piszolygolyóra, vagy a gépjármű szélvédőjével ütköző, és a jármű sebességét "átvevő" szúnyogra). A sebességvektorok irányát a sebesség előjele határozza meg: a pozitív érték azt jelenti, hogy az általunk választott pozitív iránnyal megegyező irányú, a negatív pedig azzal ellentétest.
Tekintsük adottnak az \(m_1\) és \(m_2\) tömegeket, valamint a kezdeti \(v_1\) illetve \(v_2\) kezdeti sebességeket, és próbáljuk meg ezekkel kifejezni az ütközés utáni \(u_1\) illetve \(u_2\) végső sebességeket!
Rugalmas ütközésben nemcsak a rendszer összes lendülete, hanem az összes mozgási energiája is megmarad. Írjuk fel először a teljes lendület megmaradását:
\[m_1v_1+m_2v_2=m_1u_1+m_2u_2\]
Ezt rendezzük is át úgy, hogy az azonos tömegek azonos oldalon legyenek:
\[m_1v_1-m_1u_1=m_2u_2-m_2v_2\]
Emeljük ki a tömegeket:
\[m_1(v_1-u_1)=m_2(u_2-v_2) \tag{1}\]
Írjuk fel az összes mozgási energia megmaradását:
\[\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2=\frac{1}{2}m_1u_1^2+\frac{1}{2}m_2u_2^2\]
Szorozzuk meg az egyenletet 2-vel:
\[m_1v_1^2+m_2v_2^2=m_1u_1^2+m_2u_2^2\]
és itt is vigyük az azonos tömegeket tartalmazó tagokat egy oldalra, majd emeljük ki a tömegeket:
\[m_1v_1^2-m_1u_1^2=m_2u_2^2-m_2v_2^2\]
\[m_1(v_1^2-u_1^2)=m_2(u_2^2-v_2^2) \tag{2}\]
Osszuk el ezt a \((2)\)-es egyenletet a lendületmegmaradásból kapott \((1)\)-es egyenlettel:
\[\frac{m_1(v_1^2-u_1^2)}{m_1(v_1-u_1)}=\frac{m_2(u_2^2-v_2^2)}{m_2(u_2-v_2)}\]
A tömegek kiesnek:
\[\frac{v_1^2-u_1^2}{v_1-u_1}=\frac{u_2^2-v_2^2}{u_2-v_2}\]
A számlálóban felhasználjuk, hogy
\[a^2-b^2=(a+b)\cdot (a-b)\]
\[\frac{\left(v_1+u_1\right)\cdot \left(v_1-u_1\right)}{v_1-u_1}=\frac{\left(u_2+v_2\right)\cdot \left(u_2-v_2\right)}{u_2-v_2}\]
Egyszerűsítés után:
\[v_1+u_1=u_2+v_2\]
\[v_1-v_2=u_2-u_1 \tag{3}\]
(Eszerint a két test relatív sebessége nem változik meg rugalmas ütközésben, hanem "megmarad". Ennek a rugalmatlan ütközéseknél legy majd jelentősége.)
Fejezzük ki ebből az egyenletből a két ismeretlen (\(u_1\) és \(u_2\)) közül az egyiket, mondjuk az \(u_2\) sebességet:
\[u_2=v_1+u_1-v_2\]
és helyettesítsük be a lendületmegmaradásból fent kapott egyenletbe:
\[m_1(v_1-u_1)=m_2(u_2-v_2)\]
\[m_1(v_1-u_1)=m_2(v_1+u_1-v_2-v_2)\]
\[m_1v_1-m_1u_1=m_2v_1+m_2u_1-2m_2v_2\]
\[(m_1-m_2)v_1+2m_2v_2=(m_1+m_2)u_1\]
\[\boxed{u_1=\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_2+\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1}\]
Ehhez hasonlóan levezetve a másik ismeretlen sebességre ez adódik:
\[\boxed{u_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1+\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_2}\]
Feltűnhet, hogy az \(u_1\) és \(u_2\) ismeretlenekre kapott formulák kísértetiesen hasonlítanak egymásra. Ez, ha belegondolunk, érthető is, hiszen az elején sehogy se volt megkülönböztetve az egyik test a másiktól (túl azon, hogy az egyiket 1-esnek, a másik a 2-esnek tituláltuk), emiatt a két képlet csupán abban különbözik, hogy az 1-es illetve 2-es alsó indexek fel vannak cserélve bennük.
Az alábbiakban megvizsgáljuk ezeket néhány speciális esetben (bizonyos tömegarány és bizonyos kezdősebességek esetén).
1. spec.: Álló céltárgy, azonos tömegek
A kiindulási feltevéseink matematikai megfogalmazása:
\[m_1=m_2=m\]
\[v_2=0\]
Ilyen például, amikor egy álló billiárdgolyónak nekiütközik egy vele azonos tömegű másik billiárdgolyó (centrálisan). Helyettesítsük be ezeket a specialitásokat az általános megoldásba:
\[u_1=\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_2+\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1\]
\[u_1=\frac{2m}{m+m}\cdot 0+\frac{m-m}{m+m}v_1\]
\[u_1=0+\frac{0}{2m}v_1\]
\[u_1=0\]
A "bombázó" golyó végsebessége:
\[u_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1+\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_2\]
\[u_2=\frac{2m}{m+m}v_1+\frac{m-m}{m+m}v_2\]
\[u_2=\frac{2m}{2m}v_1+\frac{0}{m+m}v_2\]
\[u_2=v_1\]
Vagyis a "bombázó" billiárdgolyó teljesen megáll, a kezdetben álló pedig átveszi a bombázó sebességét. Úgy is hívják ezt, hogy "sebességcsere", amit a slow-mo kameráknak hála meg is nézhetünk lassítva.
Nemcsak billiárdgolyók tudják ezt, hanem a profik is, ha mindent beleadnak...
2. spec.: Álló, végtelen nagy tömegű testtel ütközés (merev falnak ütközés)
A fal az ütközéskor nem mozdul el, ami azt jelenti, hogy a neki ütköző test által rá ható erő lényegében nulla gyorsulást okoz a falon. Ez az
\[F=m\cdot a\]
Newton II. törvény szerint akkor lehetséges, ha a test \(m\) tömege végtelen nagy. Legyen a "bombázó" részecske az \(m_1\) tömegű, ekkor:
\[m_2=\infty\]
A fal kezdetben (is) áll, így:
\[v_2=0\]
Írjuk be a fenti specialitásokat az általános egyenletbe:
\[u_1=\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_2+\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1\]
\[u_1=\frac{2m_2}{m_1+m_2}\cdot 0+\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1\]
\[u_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1\]
A jobb oldalon a nevezőben is és a számlálójában is az van, hogy a végtelen nagy \(m_2\) mellett az \(m_1\) elhanyagolhatóan kicsi, így elhagyható:
\[u_1=\frac{-m_2}{m_2}v_1\]
\[u_1=-v_1\]
Azt kaptuk, hogy a fallal rugalmasan ütköző test az eredeti nagyságú sebességével pattan vissza, ahogy ezt a mindennapi tapasztalatainkból is tudjuk. ersze a valóságban makroszkopikus testeknél mindig van (nem is olyan kevés) disszipáció, például még egy jó keményre fújt labda, ha a földre ejtjük, nem jut vissza az eredeti magasságába, csak annak mondjuk 70%-ára.
Egy furcsaság
A bombázó részecske impulzusa (lendülete) megváltozott, tehát a partnere (a fal) át kellett, hogy vegyen tőle valamennyi impulzust, ugyanakkor a fal mozgási energiája a kezdetivel azonos maradt,. Hogyan lehetséges, hogy "a fal impulzust átvett, viszont mozgási energiát nem"? Ennek hátterében az áll, hogy a mozgási energia "erősebben" függ a sebességtől (annak négyzetével arányos), mint a lendület (ami "csak" a sebességgel arányos). A lendületmegmaradás alapján a fal a nagy tömege miatt csak kis sebességre tesz szert (amit nem érzékelünk), a mozgási energiájában pedig ennek a nagyon kicsi sebességnek a négyzete szerepel, ami azt jelenti, hogy a fal mozgási energiája még ehhez képest is nagyon kicsi lesz.
3. spec.: Azonos tömegű, azonos sebességgel szembetalálkozó testek
A specialitásaink matematikai formában:
\[m_1=m_2=m\]
\[v_1=v\]
\[v_2=-v\]
Ezeket beírva az általános egyenletbe:
\[u_1=\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_2+\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1\]
\[u_1=\frac{2m}{m+m}(-v)+\frac{m-m}{m+m}v\]
\[u_1=\frac{2m}{2m}(-v)+\frac{0}{m+m}v\]
\[u_1=-v\]
Tehát a testek a kezdeti sebességükkel azonos nagyságú sebességgel pattannak vissza:
4. spec.: Azonos sebességgel szembetalálkozó testek rugalmas ütközésekor hogyan lehetséges, hogy az egyik megálljon?
A testek sebessége azonos, de szemben érkeznek, ezért:
\[v_1=v\]
\[v_2=-v\]
A tömegeik viszont nem lehetnek azonosak, hiszen ez az előző speciális esetben volt, és akkor "szétlökődtek" a kezdeti sebességükkel. Tehát biztos, hogy
\[m_1\neq m_2\]
Legyen az 1-es test, amelyik az ütközés után megáll:
\[u_1=0\]
Írjuk be ezeket a specialitásokat az általános egyenletbe:
\[u_1=\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_2+\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1\]
\[0=\frac{2m_2}{m_1+m_2}(-v)+\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v\]
\[\frac{2m_2}{m_1+m_2}v=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v\]
\[2m_2=m_1-m_2\]
\[m_1=3m_2\]
Tehát ha \(1:3\) a tömegarány, akkor azonos sebességgel összeütközve a nagyobb tömegű meg fog állni.
Mekkora sebességgel pattan vissza ekkor a kisebb tömegű? Írjuk be az $u_2$ általános képletébe
\[{u_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1+\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_2}\]
a mostani tömegeket és sebességeket:
$m_1=3m$
$m_2=m$
$v_1=v$
$v_2=-v$
\[{u_2=\frac{2\cdot 3m}{3m+m}v+\frac{m-3m}{3m+m}(-v)}\]
Kirendezve:
$$u_2=2v$$
Tehát az eredeti sebessége 2-szeresével pattan vissza, aki egy 3-szoros tömegűvel ütközve megállítja azt..
5. spec.: Az eredeti sebességének legfeljebb hányszorosára gyorsulhat fel egy test ha azonos sebességgel szembetalálkozik egy (tetszőleges tömegű) másikkal?
Ha szembe jönnek, azonos sebességgel, akkor
\[v_1=v\]
\[v_2=-v\]
Nézzük meg, milyen esetben lesz a lehető legnagyobb mondjuk az 1-es végsebessége, azaz az \(u_1\)!
\[u_1=\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_2+\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1\]
\[u_1=\frac{2m_2}{m_1+m_2}\cdot (-v)+\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\cdot v\]
\[u_1=\frac{-2m_2}{m_1+m_2}v+\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v\]
Összevonás után:
\[u_1=\frac{m_1-3m_2}{m_1+m_2}v\]
Az egyszerűség kedvéért válasszuk meg a tömeg mértékegységét úgy, hogy az \(m_2\) (céltárgy) egységnyi tömegű legyen, a másik tömeg (a bombázó) pedig legyen egyszerűen \(m\):
\[u_1=\frac{m-3}{m+1}v\]
Azt kaptuk, hogy a bombázó test sebessége az eredei sebessége $\displaystyle \frac{m-3}{m+1}$-szeresére változik. Tehát mi ennek a "sebességarány" függvénynek keressük a legnagyobb abszolút értékét, ügyelve arra, hogy az $m$ tömeg (a függvény változója) csak pozitív értéket vehet fel, vagyis az $m<0$ értelmezési tartományban. Ezt valamelyik függvényábrázolóba (GeoGebra, WolframAlpha, Desmos) beírva:
Azt látjuk, hogy ez a sebességarány függvény:
- az $m<3$ tartományban egyre nagyobb $m$ esetén tart az 1-hez (ami nekünk, maximumot keresve, nem sok)
- $m=3$ esetén nullát vesz fel; ez volt az előző speciális eset, hogy $1:3$ tömegarány és azonos kezdeti sebességek esetén a nagyobb tömeg az ütközés után megáll
- a $0<m<3$ tartományban negatív értéket vesz fel, aminek jelentése hogy az $m$ tömegű test visszapattan (nem továbbhalad az eredeti irányába). A sebességarány legnagyobb abszolút értéke $-3$, amit az \(m=0\) esetnél vesz fel
Vagyis legnagyobb sebességgel a "végtelenül" kicsi tömegű test fog visszapattanni, méghozzá a kezdeti sebességének háromszorosával.
Hogyan lehet ezt kivitelezni? Ha fogunk egy nagyobb tömegű golyót (pl. kosárlabda), ráhelyezünk egy nála jóval kisebb tömegűt (pl. golflabda, teniszlabda, kis tömör gumilabda) és kezdősebesség nélkül leejtjük őket. Ekkor a zuhanás során súlytalanság állapotában lesznek, azaz nem nyomják egymást, de kezdetben kissé ránehezedett a felső az alatta lévőre, amitől kezdetben volt egy kis deformációjuk. A szabadesés során a kezdeti deformáció megszűnik ("relaxálódnak"), ami kissé eltávolítja őket egymástól, még ha ezt szabad szemmel nem is látjuk. Így az alsó kicsit korábban ér a talajra, és ha elég gyorsan lezajlik a padlóról visszapattanása, és eléggé rugalmas, akkor már a becsapódás sebességével indul el felfelé, amikor majd "szembe találkozik" a felette lévő, zuhanó másik golyóval. Tehát nagyjából teljesül, hogy azonos nagyságú, de ellentétes irányú sebességekkel ütköznek egymásnak. Az iménti levezetés szerint ha a fenti golyó tömege jóval kisebb, mint az alsó golyó tömege, akkor közel háromszoros sebességgel fogja "fellőni" a nagy alsó a kicsi felsőt. Ekkor közel 3-szoros sebességgel felfelé elindulva
\[\frac{1}{2}mv^2=mgh\]
alapján elvileg 9-szer magasabbra repülne fel, mint ahonnan elejtettük. Természetesen a valóságban az alsó labda a talajjal ütközés után némileg kisebb sebességgel indul felfelé, mint amennyivel elérte a talajt, és a szembetalálkozáskor sem tökéletesen rugalmas az ütközés, így a 9-szeres magasság csak egy elérhetetlen elméleti határ. De szegény tengerimalacnak már ennél kevesebb is sokkoló:
2020-ban kosárlabdával és sörrel TikTok-őrület lett ugyanebből Basketball Beer Challenge néven:
6. spec.: Lehetséges a kezdősebesség 3-szorosnál nagyobb mértékben is felgyorsulni az ütközéstől?
Az 5. speciális esetben a (tetszőleges tömegű) ütköző testek az elején azonos nagyságú sebességgel haladtak egymás felé, ilyenkor legfeljebb 3-szorosra gyorsulhat fel az egyikük. Nézzük meg, hogy túlszárnyalható-e ez a sebességtriplázódás, ha nemcsak a tömegek, hanem a sebességek is tetszőlegesek!
Induljunk ki az általános egyenletből:
$$u_1=\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_2+\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1$$
Legyen a főszereplő az 1-es test, neki akarunk minél nagyobb $u_1$ ütközés utáni sebességet kapni! Vegyük a másik, 2-es test tömegét egységnyiek:
$m_2=1$
és a 2-es test kezdeti sebességét is vegyük egységnyinek! De itt el kell gondolkodnunk, mivel különböző irányok is vannak. Ha az $u_1$ maximumát keressük, akkor az $u_1$ sebességet pozitívnak kell vennünk. Ha az 1-es test a kezdeti irányába haladna tovább, úgy nem gyorsulhatna fel rugalmas ütközésben (mert az ütközés során a haladási irányával ellentétes irányú erőt fejt ki rá a másik test), tehát sebességnagyság-növekedés csak úgy lehetséges, ha az 1-es test az ütközéstől irányt vált, azaz visszapattan a másikról. Vagyis a főszereplő 1-es test kezdeti sebessége negatív kell legyen. Mivel a 2-es test az elején vele szembe jön, ezért a 2-es kezdeti sebessége pozitív előjelű, és most ráadásul egységnyi kell legyen:
$v_2=1$
Ez esetben a főszereplőnk $m_1$ tömege azt mutatja, hogy hányszoros tömegű az 1-es test a 2-eshez képest (tömegarány), a $v_1$ sebessége pedig hogy hányszoros az ő kezdeti sebessége a 2-es test kezdeti sebességéhez képest (kezdeti sebességarány). Ezeket beírva:
$$u_1=\frac{2}{m_1+1}+\frac{m_1-1}{m_1+1}v_1$$
és $v_1$ negatív szám!